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Zahlen (SS 2005)
http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder
INHALT
Termine
Ankündigung im
Veranstaltungsinformationssystem Campus
Zuordnung
Inhalt
Literatur
Aufgaben
Themen
Termine
V Mi 8.15 -- 9.45 Uhr Hörsaal Phil (Kármánstr. 17-19) (Beginn 13. 04. 2005),
Am Mi, 8.06.05, war keine Vorlesung wegen des DIES ACADEMICUS.
V Fr 8.15 -- 9.45 Uhr Hörsaal Phil,
Ü Mo 8.15 -- 9.45 Uhr Raum SG 512 (Beginn 18. 04. 2005)
    Am Montag, d. 23.05.05, fand die Übung im Raum 301 (CIP-Pool) des Sammelbaus (Lst. D und B f. Math.), Templergraben
64, statt. Ab Montag, d. 30.05.05, treffen wir
uns wieder im SG 512.
Ankündigung
im
Campus-Vorlesungsverzeichnis.
Zuordnung
zum Lehramtsstudiengang Mathematik:
a) S II, Bereich E, und
Zusatzstudium S I sowie
b) LAG und LAB, Modul "Didaktik der Mathematik", nach der LPO von 2003.
Ab 3. Semester.
Inhalt
Es handelt sich um eine Veranstaltung des Moduls "Didaktik der Mathematik".
An Hand von Themen aus dem Bereich "Größen, Verhältnisse, Zahlen" (ganze Zahlen,
Brüche, reelle Zahlen, hyperreelle Zahlen; Zahldarstellungen, Struktur von Zahlbereichen,
wissenschaftshistorische Begriffsbildung) werden
didaktische Prinzipien eines "Tätigen Mathematikunterrichts"
reflektiert und erlebbar gemacht.
Das bedeutet, dass die Veranstaltung nur nach außen
als Vorlesung/Übung erscheint, intern aber unter ständiger
Mitwirkung aller Beteiligten abläuft, um auch in der Veranstaltung
selbst ein Beispiel für "Tätigen Mathematikunterricht" zu
geben. Wöchentliche Hausaufgaben werden zugunsten von Sonderaufgaben
wie kleine Vorträge und Protokolle für eine Kurs-Homepage
reduziert. Computereinsatz (EXCEL, MAPLE) findet nach Bedarf statt.
Der Stoff bezieht sich zwar auf die Grundschule sowie Unter- und Mittelstufe des
Gymnasiums, wird aber auch aus der höheren Warte des
axiomatischen Zugangs behandelt. Er stellt so eine gute Vorbereitung
für die strukturmathematisch orientierte Vorlesung "Algebra I"
dar.
Literatur
Siehe meine Literaturverzeichnisse zur Algebra
und zur Fachdidaktik der Mathematik.
Aufgaben
Die Aufgaben finden Sie auf der
Aufgabenseite.
Zur aktuellen Aufgabe.
Themen
Zu gegebener Zeit finden Sie hier Bemerkungen zu Einzelthemen (Hinweise und Literatur).
- Peano-Axiome und Folgerungen für N.
- Leon W. Cohen - Gertrude Ehrlich, The Structure of the
Real Number System, New York: Van Nostrand Reinhold Company,
1963.
- Weitere Literatur in meinem Verzeichnis
Literatur zur Fachdidaktik
unter Natürliche Zahlen.
- Rationale Zahlen als Dezimalbrüche.
- Niedersächsisches Kultusministerium (Hg.), Neue Technologien
und Allgemeinbildung: Mathematik; Anregungen für den Unterricht,
Hannover: Berenberg, 1990. ISBN 3-88990-010-0.
S. 177--199: Kap. 2.9 Probieren,
Entdecken, Forschen -- am Beispiel periodischer Dezimalbrüche.
- F. Padberg, Didaktik der elementaren Zahlentheorie, smd, Herder,
21991. ISBN 3-411-76392-2. MB: 15714. S. 114--135:
VIII: Systembrüche.
- Weitere Literatur in meinem Verzeichnis
Literatur zur Algebra
unter Elementare Zahlentheorie/Dezimalbrüche.
- Einführung der Bruchzahlen.
Bruchzahlen in der Grundschule.
- Lisa Hefendehl-Hebeker, Von realen zu gedachten Welten --
mathematische Werkzeuge im Unterricht, S. 83--94 in:
Helmut Altenberger (Hg.), Fachdidaktik in Forschung und
Lehre, Augsburg: Dr. Bernd Wißner, 1997.
ISBN 3-89639-082-1. HBZ.
Bruchzahlen via Handlungen und deren Protokollen (Operatoren und
Proportionen).
- Willi Dörfler, Emergenz von Brüchen und
rationalen Zahlen aus einem Handlungssystem,
Journal für Mathematik-Didaktik 23:2 (2002), 87--105.
HB: Z5899-23.
- Willi Dörfler, Brüche als symbolische
Beschreibungen von Schülerhandlungen - ein Rahmen
für eine Lernsequenz, Der Mathematikunterricht
50:3 (2004), 36--44. [Per US; denn die HB hat diese
Zeitschrift ab 2004 abbestellt!]
Bruchzahlen als Operatoren.
- Leen Streefland, Fractions in Realistic Mathematics
Education -- A Paradigm of Developmental Research,
Mathematics Education Library 8,
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991.
ISBN 0-7923-1282-1. HBZ (Bielefeld).
S. 326--342: Sketch of a new course.
Weitere Literatur in meinem Verzeichnis
Literatur zur Fachdidaktik
unter Brüche und Bruchzahlen.
- Analyse des XEA (Erw. Eukl. Algor.).
- S. 226--227: Exercises, Section 2, No. 2 (G. E. Collins) in:
John D. Lipson, Elements of Algebra and Algebraic Computing,
Reading, MA: Addison-Wesley, 1981. MB: 11267.
- M. Neubrand, Kettenbrüche: Beste Näherungen,
transzendente Zahlen, Der Mathematikunterricht 30:5 (1984),
30--47. HB: Z5577-30. Chr. Huygens' Planetarium, Ultra-Approximation.
- Chr. Huygens, Le Planétaire de 1682, S. 165--184 in:
Œvres Complètes de Christiaan Huygens, Bd. 21:
Cosmologie, Société Hollandaise des Sciences,
1944. HB: Ba206-21+1.
- Negative (ganze, rationale) Zahlen.
Orientierte Längen- und Flächenmaße.
- E. Sperner, Einführung in die Analytische Geometrie
und Algebra. 1. Teil, Studia Mathematica /
Mathematische Lehrbücher 1, Vandenhoeck & Ruprecht,
Göttingen, 41959. HB: Bd1110-1+4. Vierter Abschnitt.
(4. Diskursebene, LA I)
- U. Schoenwaelder, Die fünf Diskursebenen: vom inhaltlichen
zum formalen mathematischen Denken und zurück,
Mathematische Semesterberichte 52 (2005), 39--62. Abschn. 5.
(4. Diskursebene, LA I)
- Daniel Perrin, Eine Ergänzung zum Bericht über
Geometrie der Kommission Kahane: das Beispiel der affinen
Geometrie im Collège, Mathematische Semesterberichte
48 (2002), 211--245. (3. Diskursebene, Elementargeometrie)
Rechenregeln.
- M. Wagenschein - E. Schuberth - P. Buck, Minus mal Minus,
Forum Pädagogik 2 (1988), 56--61. ISSN 0933-9922. HBZ.
- L. Hefendehl-Hebeker, Unstetigkeiten im Lehrprozeß - oder:
"Das muß man doch auch noch anders erklären können",
Der Mathematikunterricht 34 (1988), 4--18. HB: Z5577-34.
- L. Hefendehl-Hebeker, Die Einführung der negativen
Zahlen als unterrichtliches Problem, Beiträge zum
Mathematikunterricht 1989, 183--186. HB: Bb1256-1989.
Begriffsbildung.
- H. Winter, Über die Entfaltung begrifflichen Denkens
im Mathematikunterricht, Journal für Mathematik-Didaktik
4:3 (1983), 175--204.
Vier Stufen der Begriffsbildung (S. 182):
- Auseinandersetzung mit Phänomenen
(deskriptiv-operationelles, d. h. gebrauchsmäßiges
Vorverständnis);
- Simulative (schematisierende) Rekonstruktion des
Phänomenbereichs, Aufbau von Handlungssystemen
(operativ-instrumentelles Verständnis);
- Systematische Einordnung in das vorhandene Wissen und
Entwicklung von Theoriestücken
(systematisch-theoretisches Verständnis);
- Transfer auf weitere Phänomene, ..
(kritisch-reflexives Verständnis).
Sechs Arten der Begriffsbestimmung (S. 187):
- exemplarische,
- konstruktive,
- abstraktive,
- ideative,
- explizit-definitorische,
- implizit-axiomatische Begriffsbestimmung.
- Reelle Zahlen.
Axiomatik.
- L. W. Cohen and G. Ehrlich, The Structure of the Real Number
System, D. van Nostrand, 1963.
- S. Feferman, The Number Systems. Foundations of
Algebra and Analysis, Addison-Wesley, 1964: MB: 2919.
- Hans-Günther Bigalke, Eine ordnungstheoretische
Charakterisierung der Zahlenmengen N, Z, Q und R,
Der Mathematikunterricht 20:6 (Reelle Zahlen II) (1974), 58--62.
HB: Z5577-20.
Konstruktion via Dedekindscher Schnitte.
- Aries Koch, Präzisierung des Integralbegriffs und
Grundzüge der Konstruktion der reelen Zahlen,
Der Mathematikunterricht 15:4 (1969), 5--43. HB: Z5577-15.
- Helmut Knabe, Zur Erweiterung von Q zu R,
Der Mathematikunterricht 15:4 (1969), 44--49. HB: Z5577-15.
- Wilhelm Krücken, Methodisch-didaktische
Überlegungen zur Einführung der reellen Zahlen,
Der Mathematikunterricht 20:6 (1974), 39--57. "Anfänge".
- Richard Dedekind,
a) Stetigkeit und irrationale Zahlen,
Braunschweig, 1872, 61950. HB: Bf1485-11+6.
b) Was sind und was sollen die Zahlen?, Braunschweig,
1888, 81960. HB: Be159+8; MB: 4580.
- H.--D. Ebbinghaus and H. Hermes and F. Hirzebruch and
M. Koecher and K. Mainzer and J. Neukirch and A. Prestel
and R. Remmert, Zahlen, Springer-Verlag, 1983,
21988. HB: BB1561-1+1, BB1561-1+2;
MB: 12139, 12165, 14614.
- Helmut Coers, Die Kowalewskische Einführung der
reellen Zahlen, Der Mathematikunterricht 19:3 (1973),
70--82. Objekte: ordnungstheoretische "Anfänge";
Operationen durch stetige Fortsetzung auf Grenzwerte.
Konstruktion via Cauchy-Folgen.
- B. L. van der Waerden, Algebra I,
Springer-Verlag, 81971 usw. § 78.
- Heinz Liermann, Einführung der reellen Zahlen als
Anwendung von Strukturierungsproblemen, Der
Mathematikunterricht 15:4 (1969), 50--61. HB: Z5577-15.
- Herbert Meschkowski, Einführung in die
moderne Mathematik,
BI-Hochschultaschenbücher 75, Bibl. Inst., 21966.
MB: 4411, 20508. Konstruktion via Cauchy-Filter.
- S. Lang, Algebraic Structures, Reading, MA:
Addison-Wesley, 1967. ISBN 0-201-04173-1. HB: BF5553.
Algebraische Strukturen,
Moderne Mathematik in elementarer Darstellung 18,
Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1979.
ISBN 3-525-40542-1. HB: BB1126-18+1.
Konstruktion via Intervallschachtelungen.
- K. Denecke and K. Todorov, Algebraische Grundlagen
der Arithmetik, Berliner Studienreihe zur Mathematik 4,
Berlin: Heldermann Verlag, 1994. ISBN 3-88538-104-4.
MB: 17179.
- H.-D. Ebbinghaus et al., Zahlen, wie unter
"Dedekindsche Schnitte".
Konstruktion via Dezimaldarstellung.
- Wolfgang Rautenberg,
a) Ein kurzer und direkter Weg von den natürlichen
zu den reellen Zahlen mit anschließender Begründung
der Bruchrechnung, Mathematik in der Schule 7 (1969),
409--425. HB: Z5724-7.
b) Reelle Zahlen in elementarer Darstelllung,
Klett Studienbücher, Stuttgart: Ernst Klett, 1979.
ISBN 3 -12-983320-X. HB: Bf7216.
Operationen: Definition (über obere Grenzen) und
schnelles Rechnen (via Dezimalziffernfolgen) getrennt.
- H. Wunderling, Reelle Zahlen,
Der Mathematikunterricht 19:3 (1973), 27--66.
HB: Z5577-19. "Riesenschlangen", explizites (kompliziertes)
Rechnen mit Dezimalziffernfolgen.
- A. Kirsch, Die Bedeutung des Gruppenbegriffs für
den Mathematikunterricht, S. 215--227 in:
Heinz Schröder, Der Mathematikunterricht im
Gymnasium, Ergebnisse aus der Arbeit der
Lehrerfortbildung 5/7, Schroedel, 1966. HBZ. Keine
strenge Durchführung.
- G. Holland, Dezimalbrüche und reelle Zahlen,
Der Mathematikunterricht 19:3 (1973), 5--26.
HB: Z5577-19. Objekte und Operationen via
Dezimalschachtelungen. Symbolische Darstellung durch
Dezimalziffernfolgen. Rechnung: Addition und Multiplikation
von links.
[Kommentar bei Vollrath, Algebra in der
Sekundarstufe, Lehrbücher und Monographien zur
Didaktik der Mathematik, BI, 1994, HB: Kb5084-32, S. 64:
zu aufwändig für Schulunterricht.]
- W. Felscher, Naive Mengen und abstrakte Zahlen,
Band II: Die Struktur der algebraischen und der
reellen Zahlen, vieweg studium, Vieweg, 1978.
ISBN 3-411-01552-7. HB: BB1413-2+1; MB: 9656b.
Einführung über das Messen.
- H. Winter, Bemerkungen zur Einführung der
reellen Zahlen, Der Mathematikunterricht 20:6
(Reelle Zahlen II) (1974),
7--38. HB: Z5577-20. S. 29: Ideen.
- E. Wittmann, Approximation als verbindendes Element
der Analysis, Mathematisch-Physikalische Semesterberichte
19:2 (1972), xxx.
Konstruierbare Zahlen.
- Ian Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall, 1973.
Ch. V: Ruler and Compasses (57--67).
Didaktische Würdigung.
- H. Winter, Bemerkungen zur Einführung der
reellen Zahlen, Der Mathematikunterricht 20:6
(Reelle Zahlen II) (1974),
7--38. HB: Z5577-20. S. 18-19: Pro und Contra.
Zu weiteren Quellen siehe mein Literaturverzeichnis unter
Literatur zur Algebra
> Zahlen > Reelle Zahlen.
- Unendlich kleine und unendlich große Zahlen.
Übersichtstexte.
- P. J. Davis -- R. Hersh, Erfahrung Mathematik,
Birkhäuser, 1981. MB: 13068. S. 246 ff:
Nichtstandardanalysis.
- B. Artmann, Der Zahlbegriff, Moderne Mathematik
in elementarer Darstellung 19, Vandenhoeck & Ruprecht,
1983. HB: Bb1126-19. Mit historischen Hinweisen.
- J. W. Dauben, Abraham Robinson:
The Creation of Nonstandard Analysis.
A Personal and Mathematical Odyssey,
Princeton Univ. Press, 1995. MB: 18650.
Biography of Abraham Robinson.
- C. H. Edwards, Jr., The Historical Development of
the Calculus, Berlin: Springer, 1979. MB: 10658.
- W. S. Hatcher, Calculus is Algebra,
Amer. Math. Monthly 89:6 (1982), 362--370. MB: Z 42.
- M. Kronfellner, Historische Aspekte im
Mathematikunterricht: eine didaktische Analyse mit
unterrichtssprezifischen/unterrichtspraktischen
Beispielen, Schriftenreiche Didaktik der
Mathematik 24, Hölder-Pichler-Tempsky, 1998.
HB: Ka7590-24.
Kap. 12: Verschiedene Möglichkeiten
der Berücksichtigung der historischen Entwicklung
(12.4 Nonstandard Analysis - "Zeitgeschichte der
Mathematik").
- A. H. Lightstone, Infinitesimals and integration,
Mathematics Magazine 46 (1973), 20-30. MB: Z 167. Sehr
empfehlenswert.
- H. Wunderling (Hrsg.), Infinitesimalmathematik,
Der Mathematikunterricht 43:1 (1997), Seelze: Friedrich.
HB: Z5577-43.
Mit Artikeln von D. Laugwitz (Zur historischen
Entwicklung der Infinitesimalmathematik),
C. Utecht (Einführung der Integralrechnung
über die Infinitesimalanalysis),
P. Baumann (Einführung in die Analysis über
hyperreellen Zahlen), T. Kirski, B. Steinig.
Historische Texte und deren moderne Interpretationen.
- A. L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale
Polytechnique, Paris: Impr. Royale, 1821.
Abgedruckt in Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy
/ publ. sous la dir. scientifique de l'acad. des sciences
et sous les auspices de M. le ministre de l'instruction
publique, Paris: Gauthier-Villars, 1885. HBZ.
- A. L. Cauchy, Résumé des leçons
sur le calcul infinitésimal, Paris:
Impr. Royale, 1823. HB: Be29 (Lesesaal).
Abgedruckt in Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy,
Paris: Gauthier-Villars, 1885. HBZ.
- D. Laugwitz, Infinitely small quantities in Cauchy's
textbooks, Historia math. 14 (1987), 258--274.
MB: Z 171.
- D. Laugwitz, Cauchy-Zahlen als Grundlage der
Infinitesimalmathematik, Mathematische
Semesterberichte 38 (1991), 175--213. HB: Z1538-38 ZNT.
- A. Robinson, Non-Standard Analysis, Studies in
Logic and the Foundations of Mathematics, North-Holland,
1966, 21970, Revised 1974. MB: 6878;
HB: Bf6485-2.
Historisch das moderne grundlegende Werk. Ch. X:
Zur Geschichte des Infinitesimalen.
Hyperreelle Zahlen (Theorie).
- C. C. Chang -- H. J. Keisler, Model Theory,
Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 73,
Amsterdam: North Holland, 1973, 31990.
HB: Bb1374-73+3.
- H. J. Keisler, Foundations of Infinitesimal Calculus, Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1976. IB. Für den
Lehrer.
- A. E. Hurd -- P. A. Loeb, An Introduction to
Nonstandard Analysis, Pure and Applied Mathematics 118,
Academic Press, 1985. MB: 12966.
- J. M. Henle -- E. M. Kleinberg, Infinitesimal
Calculus, MIT Press, 1979. MB: 10322. Mit Schulkenntnissen
lesbar!
- N. Cutland, Nonstandard Analysis and its Applications,
LMS Student Texts 10, Cambridge Univ. Press, 1988,
MB: 14358.
- M. Davis, Applied Nonstandard Analysis,
Pure and Applied Mathematics, John Wiley & Sons,
1977. MB: 9254. Gute Einführung.
- F. Diener and M. Diener, Nonstandard Analysis in
Practice, Berlin: Springer, 1995.
ISBN 3-540-60297-6. MB: 17759. HB: BF9623.
- V. Gautheron -- E. Isambert, Lire l'analyse non
standard, S. 29--49 in:
J. Mawhin, Non Standard Analysis, Bulletin of the
Belgian Mathematical Society, Supplement July 1996,
BMS, 1996. MB: 18175.
- Robert Goldblatt, Lectures on the Hyperreals - An
Introduction to Nonstandard Analysis, Graduate
Textx in Mathematics 188, Springer, 1998.
ISBN 0-387-98464-X. MB: 18575.
Sehr gut brauchbar mit historischer Einführung.
Wählt die Ultraprodukt-Konstruktion.
- D. Landers -- L. Rogge, Nichtstandard-Analysis,
Springer-Lehrbuch, Springer, 1994. MB: 17181; HB: Bf9504.
Umfassende und leicht verständliche
Einführung mit der Konstruktion über
Ultrafilter.
- D. Laugwitz, Zahlen und Kontinuum: Eine
Einführung in die Infinitesimalmathematik,
Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der
Mathematik 5, Wiss. Buchges. Darmstadt, BI, 1986.
MB: 13209; HB: Bf7905.
Einführung in die Nonstandard-Analysis durch
Adjunktion eines idealen Elementes für Lehrer mit
vielen historischen und philosophischen Bemerkungen.
- A. Robert, Nonstandard Analysis, Wiley, 1988.
MB: 14250; Bf9063. Mit Nelsons axiomatischem Aufbau
(IST).
- J. Barkley Rosser, Logic for Mathematicians,
New York: Chelsea Publishing Co., 21978.
HB: Bb1462-2. Appendix D: Nonstandard Analysis; viele
Bemerkungen.
Hyperreelle Zahlen (im Unterricht).
- H. J. Keisler, Elementary Calculus: An Approach
Using Infinitesimals, Boston: Prindle, Weber
and Schmidt, 1976. Lst. II f. Math. Für den
Schüler.
- F. Wattenberg, Unterricht im Infinitesimalkalkül:
Erfahrungen aus den USA, Der Mathematikunterricht
29:4 (1983), 7--36. HB: Z5577-29.
- W. Schnitzspan, Nichtstandard-Analysis in der
Schule, Der Mathematikunterricht 29:4 (1983),
37--59. HB: Z5577-29.
- G. Neuheuser, Die Infinitesimalmathematik -- Eine
transparente Alternative zur heutigen Schulanalysis,
Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht
(MNU) 40:2 (1987), 67--75. HB: Z848-40.
- P. Baumann -- B. Steinig -- H. Wunderling,
a) Hyperreelle Zahlen, Mathematik betrifft uns, x:2
(1995). HBZ.
b) Differentialrechnung mit hyperreellen Zahlen,
Mathematik betrifft uns, x:4 (1996). HBZ.
- P. Baumann, Einführung in die Analysis über
hyperreellen Zahlen. -- Ein Erfahrungsbericht,
Der Mathematikunterricht 43:1 (1997), 33--46. HB: Z5577-43.
37--59. HB: Z5577-29.
- H. Wunderling, Über den Gebrauch infiniter
Vergrößerungen in der Analysis,
Der Mathematikunterricht 43:1 (1997), 55--61.
HB: Z5577-43.
- H. Wunderling, Schüler finden
Differentiationsregeln selbst,
Der Mathematikunterricht 43:1 (1997), 62--68.
HB: Z5577-43.
Geschichte der Infinitesimalmathematik.
- W. S. Anglin -- J. Lambek, The Heritage of Thales,
UTM Readings in Mathematics, Springer, 1995. MB: 17671.
Kap. 29: Leibniz.
- E. Hairer -- G. Wanner, Analysis by Its History,
UTM Readings in Mathematics, Springer, 1996. MB: 17751.
Kap. II: Differential and Integral Calculus.
Zu weiteren Quellen siehe mein Literaturverzeichnis unter
Literatur zu Grundlagen der
Mathematik
> Hyperreelle Zahlen und Nonstandard-Analysis.
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