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Bemerkungen zur Vorlesung Lineare Algebra I (WS 2002/03)
ULRICH SCHOENWAELDER
Diese Seite wird entsprechend dem Fortgang der Vorlesung
Lineare Algebra I
aktualisiert.
Do 17.10.02: Ziele. Der theoretische Stoff der Linearen Algebra I hat vielfältige
Anwendungen in den Studiengängen Mathematik, Physik, Informatik samt Nebenfächern Mechanik,
Wirtschaftswissenschaften. Als
Ziele der Veranstaltung kann man kurz formulieren:
- Den Stoff nachvollziehen, die theoretischen Zusammenhänge
sehen und reproduzieren sowie die Theorie in konkreten Situationen
anwenden koennen.
- Mathematisches Denken erlernen.
Dazu gehören insbesondere das Abstrahieren und Interpretieren sowie
das ausdauernde und zielstrebige Problemlösen.
- Mathematisches Handeln erlernen. Hierzu gehören die Vorgehensweisen
bei der Theorieentwicklung und beim Problemlösen. Als deren
wichtigste Bestandteile sind
- fragen,
- planen,
- schreiben
hervorzuheben. Lesen Sie dazu die auf meiner Hauptseite angegebenen
Studierhinweise.
Geschichte. Literatur zur Geschichte der Linearen Algebra finden Sie in meinen
Literaturverzeichnissen
unter der Rubrik Algebra - Stichwort
Lineare Algebra - zum Download.
Zur Geschichte der Mathematik verweise ich auf die externen Seiten des
MacTutor History of
Mathematics archive.
Di 22.10.02: Nach dem einführenden Beispiel H(Q) haben
wir weitere Beispiele für eine Menge V mit gewissen Operationen
und Rechenregeln kennengelernt. In der kommenden Vorlesung am Donnerstag werden
wir alle diese Beispiele unter dem abstrakten Begriff "Modul" bzw.
"Vektorraum" zusammenfassen. Von der Ebene der Beispiele kommen wir so zu
einer abstrakteren Ebene des Diskurses (Theorie).
Do 24.10.02: Wir haben den Vektorraum-Begriff eingeführt als
einer Menge mit gewissen Operationen und Rechenregeln (Axiomen). Die auf
der aufgelegten Folie vermerkten Axiome waren:
(1)
(2)
(3) x + 0 = x
(5)
(7)
(8)
(8')
(10) 1 . x = x
Dies sind die Axiome, die in der Übungsaufgabe 6 von Blatt Nr. 1
zu verwenden sind [auch wenn früher die Regeln
x + 0 = x und 1 . x = x
eventuell eine andere Nummer hatten].
Mo 28.10.02: Speziell zu reden ist über die Verwendung der
leeren Folge ( ) von Vektoren eines Vektorraums V:
Der einzige Vektor von V, der als Linearkombination von ihr
darstellbar ist, ist der Nullvektor 0 [wie man definieren
muss].
Damit ist das Erzeugnis der leeren Folge von Vektoren derjenige Teilraum
von V, der als einziges Element den Nullvektor 0 enthält.
Falls die leere Folge ( ) ein Erzeugendensystem von V ist, ist sie
ein unverkürzbares
Erzeugendensystem von V [wie man jetzt leicht beweisen kann].
Wir vereinbaren nämlich [in der Mathematik], dass eine Wenn-dann-Aussage richtig ist, wenn die
Wenn-Aussage falsch ist. Deshalb ist die leere Folge ( ) von Vektoren
unverkürzbar.
Di 12.11.02: Bei der Definition eines K-Vektorraums hatten wir
bisher immer die Skalare (aus K) links von den Vektoren geschrieben.
Das waren sog. K-Linksvektorräume.
Da wir in Zukunft die LS-Konvention verwenden wollen, werden ab jetzt die
Skalare rechts von den Vektoren geschrieben; die Vektorraum-Axiome müssen
für solche K-Rechtsvektorräume entsprechend umgeschrieben werden.
Wir machen diese Unterscheidung, damit die Theorie auch dann anwendbar bleibt,
wenn der Körper K bezüglich der Multiplikation nicht
kommutativ ist; wenn dieses Kommutativgesetz für K nicht
gefordert wird, reden wir von einem Schiefkörper.
Hier noch mal die LS-Konvention:
Wir schreiben Abbildungssymbole links vom Argument, etwa f(x).
Wir schreiben die Skalare rechts von den Vektoren, etwa b1
x1 + b2 x2 für Vektoren b1und b2 und Skalare x1 und x2.
Wir schreiben die Koeffizienten in der Darstellung eines Vektors als
Linearkombination einer Basis in eine Spaltenmatrix.
[Dann geht auch für Schiefkörper alles gut.]
Do 21.11.02: Heute wurde der Dimensionssatz über Durchschnitt
und Summe von Teilrämen S und T eines Vektorraums
formuliert:
dim S + dim T = dim(S ∩ T) + dim(S + T)
und für den Beweis auf eine Übungsaufgabe verwiesen. Dabei
handelt es sich um Blatt Nr. 5 Aufgabe 5. Hier geht es sich zwar um
ein konkretes Beispiel, aber die Argumentation liefert auch einen
allgemeinen Beweis für den Dimensionssatz. Prüfen Sie das nach!
(Ich sehe hiermit den allgemeinen Dimensionssatz als bewiesen an.)
Di 26.11.02: Der Restering m ist in der Tat
ein Ring-mit-1; das folgt daraus, dass der Ring Z aller ganzen
Zahlen in der Tat ein Ring-mit-1 ist und die Abbildung μ = (x -->
x mod m): Z --> m die Operationen
respektiert. Machen Sie sich nochmals klar, dass das so ist und
hieraus die Ring-mit-1-Eigenschaft von m folgt.
Do 5.12.02: Das angeführte Axiomensystem für einen
affinen Raum im Sinne der Synthetischen Affinen Geometrie (SAG) findet
man bei Olaf Tamaschke, Projektive Geometrie I. Mit einer Einführung
in die affine Geometrie, BI-Hochschulskripten 838a/b, Mannheim:
Bibliographisches Institut, 1972 [MB: 6838] auf Seite 317 ff. Insbesondere
das Dreiecksaxiom wurde von Tamaschke eingeführt; es ersetzt
das sonst benutzte Veblen-Young-Axiom.
Do 5.12.02: Informationen zur Moulton-Ebene, eines affinen
Raumes (Ebene), in dem der "kleine affine Satz von Desargues" nicht gilt,
finden Sie in dem Buch von Albrecht Beutelspacher und Ute Rosenbaum,
Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen,
vieweg studium, Aufbaukurs Mathematik, Braunschweig: Vieweg, 1992
[ISBN 3-528-07241-5. MB: 16563] auf Seite 70 ff. Hier (S. 72 ff.)
finden Sie auch einen Beweis des großen affinen Satzes von
Desargues für Räume der Dimension mindestens 3, allerdings
in der (allgemeineren) projektiven Fassung. Es gibt also keine
"Moulton-Räume". Das Beispiel der Moulton-Ebene finden Sie auch
in vielen anderen Büchern zur Geometrie, z. B. bei
Max Koecher und Aloys Krieg, Ebene Geometrie, Berlin: Springer,
22000 [ISBN 3-540-67643-0], Seite 20.
Di 10.12.02: Der Beweis des Satzes über den
Seitenhalbierendenschnittpunkt eines Dreiecks im Rahmen der Analytischen
Affinen Geometrie (AAS) ist nur ein Beispiel (jedoch das Standardbeispiel)
für das Beweisen geometrischer Sätze mit Hilfe beschreibender
Vektoren bezgl. eines (frei gewählten) Ursprungs. [Hier werden
keine Basen und Koordinatenspalten benötigt!]
Do 9.01.03: Heute habe ich ein letztes Mal eine Fundsache
(wohl aus der Klausur, Teil A) ausgerufen und anprobiert: es handelt
sich um eine grüne Kaufhof-Tüete mit einer grauen Wollmütze und
einem kulinarischen "Weihnachtsgeschenk" drin. Die Sachen sind in
meinem Büro abzuholen!
Di 21.01.03: Wozu das Minimalpolynom einer linearen Abbildung
gut ist, wird am Donnerstag, 23.01.03, erklärt.
Do 23.01.03: Theoretisch kann man die Eigenwerte einer linearen
Abbildung auch über die Linearfaktoren des charakteristischen
Polynoms der linearen Abbildung finden. Zur Definition dieses
Polynoms braucht man aber den Begriff der Determinante einer linearen
Abbildung (und einer quadratischen Matrix). Darüber werde ich
jedoch erst in LA II (SS 2003) reden.
Das Zerlegen eines Polynoms (über einem Körper K) in
seine unzerlegbaren Faktoren ist keine leichte Aufgabe. Dafür
gibt es Algorithmen, die in Computeralgebrasysteme (wie Maple, GAP usw.)
eingebaut sind. Wir werden Maple in LAII benutzen.
Als Literatur zum Begriff des Minimalpolynoms, seiner Berechnung und zur Hauptraum-Zerlegung kann ich die folgenden Werke nennen:
- H. Zieschang, Lineare Algebra und Geometrie, B. G. Teubner Stuttgart,
1977; ISBN 3-519-02230-3. S. 274--276.
- S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer-Verlag, 1996;
SBN 0-387-94596-2.
Etwas schwerer zu lesen sind die entsprechenden Paragraphen in dem folgenden
Werk, weil hier alles allgemeiner für R-Moduln formuliert wird.
- H.-J. Kowalsky -- G. O. Michler, Lineare Algebra, 11. Auflage,
de Gruyter, 1998; ISBN 3-11-016185-0 (brosch.). S. 299--301.
Mo 27.01.03: Bitte beachten Sie:
Einerseits definieren wir den
Teilvektorraum Vl als Kern von phi - l id
für alle l in K. Es ist möglicherweise
Vl = {0}.
Andererseits ist l nur dann ein Eigenwert von phi
und Vl ein Eigenraum von phi,
wenn Vl nicht der Nullteilraum ist.
Di 28.01.03: Den Beweis dafür, dass eine (reelle) Norm
genau dann die Parallelogramm-Identität erfüllt, wenn sie
von einer positiv definiten, symmetrischen Bilinearform herkommt,
finden Sie in dem folgen Buch.
-
F. und R. Nevanlinna, Absolute Analysis, Grundlehren .. Bd. 102,
Springer-Verlag, 1959. S. 62--64.
Mo 3.02.03: Dass man eine symmetrische Matrix (falls 2 nicht 0 ist)
durch simultane Zumf und Spumf auf Diagonalform bringen kann, finden Sie
ausführlich in dem Buch
- J. Heinhold - B. Riedmüller, Lineare Algebra und Analytische
Geometrie, Teil 2, München, Carl Hanser Verlag, 1973
dargestellt: Satz 7.2.8 auf S. 65 -- 68.
Di 4.02.03: Zur Veranschaulichung der Niveaukurven und -flächen
bei reellen quadratischen Formen in Dimension 2 und 3 verweise ich auf die
(etwas allgemeinere) affine Klassifikation der reellen Kurven und Flächen
2. Ordnung in dem unter "3.02.03" genannten Buch von Heinhold und Riedmüller,
S. 174--175 und 188--206.
Do 6.02.03: Das Argument mit den partiellen Ableitungen zum Auffinden
eines Eigenvektors für eine symmetrische reelle Matrix findet man in
dem Buch
-
F. Lorenz, Lineare Algebra II, BI Wissenschaftsverlag, 21989.
auf S. 81 ff.
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