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Stundenprotokoll zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie vom 16.01.2004 (DB) | |
Fortsetzung von §7. Analyse von EA/XEA
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Wir waren über die Analyse des EA/XEA und der Definition von Kettenbrüchen rationaler oder auch irrationaler Zahlen zu einigen Fragen gekommen. Es ist der Bruch a/b oder a : b (die wir heute als a = α , b = 1 annehmen) und eine nicht abbrechenden Kettenbruch [Q0; Q1, Q2 , Q3,...]. Weiter gelte a : b = An := - yn + 1/xn + 1, wenn rn + 1 = 0 = xn + 1· a + yn + 1· b und ri + 1 - Qi · ri = ri+1 < ri. |
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Frage: | Konvergieren die ri gegen 0? |
Frage: | Konvergieren die Ai? |
Frage: | Konvergieren die Ai gegen α = a/b, wenn [Q0; Q1, Q2 , Q3,...] die Kettenbruchentwicklung von α : 1 ist? |
Folgenden Satz hatten wir in diesem Zusammenhang schon bewiesen: | |
Satz 7:
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Ak+2 - Ak+1 = (-1)k+1/(xk+2 · xk+1) |
Nun untersuchen wir zwei Ak die sich um zwei Stellen unterscheiden und schließen dadurch auf den nächsten Satz: | |
Satz 8: | Ak+2 - Ak = Qi+2 · (-1)k+1/(xk+2 · xk+1) (mit positivem Nenner) |
Beweis: | Ai+2 - Ai = - yi+3/xi+3 - -yi+1/xi+1 = (- yi+3xi+1 + yi+1xi+3)/(xi+3xi+1) Da der Nenner bereits ist wie gewünscht betrachten wir nur noch den Zähler. - yi+3xi+1 + yi+1xi+3 = yi+1(xi+1 - Qi+2xi+2) - xi+1(yi+1 - Qi+2yi+2) = Qi+2(yi+2xi+1 - yi+1xi+2) Nun folgt mit Satz 3: Qi+2 · (-1)i+2 Somit ist die Behauptung bewiesen. |
Folgerung: | Für Qi∈/N gilt: |
Beweis: | Man sieht leicht, dass diese Ungleichung für A0 < A2 < A3 < A1 erfüllt ist. Aus Satz 7 und Satz 8 folgt der Rest. |
Aus Satz 7 folgt die Konvergenz der Ai [(1/xi → 0) konvergiert] Den Grenzwert nennen wir β∈/R. Ai heißt Konvergente. |
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Es bleibt also noch zu zeigen, dass β = α ist, d.h. Ai < α < Aj für ungrade j und grade i. | |
Beweis: | A0 = Q0 < Q0+1/(Q0 + r0/r1) = α = Q0+1/(Q1 + 1/(r1/r2)) < A1. Analog folgt sofort, dass α < A3, α < A5, α < A7,... und α > A2, α > A4, α > A8,.... |
Aus diesem Ergebnis machen wir den folgenden Satz: | |
Satz 9: | Ist [Q0; Q1, Q2,...] die Kettenbruchentwicklung von 0 < α ∈ /R, so konvergiert die Folge der Ai gegen β = α. |
Folgerung: | Der Fehler der Kettenbruchentwicklung kann wie folgt abgeschätzt werden. |α - Ak| < |1/(xk+2 · xk+i)| ≤ 1/(xk+12) ≤ 1/(fk+2 · fk+1) |
Frage: | Konvergieren die ri gegen 0? |
Beweis: | Nach dem XEA gilt: rk = xka + ykb für einen Bruch a/b. Mit a/b = α/1 ist rk = xkα + yk · 1 ∀ k ∈ /N. 0 < Ai < α und xi < 0 für alle graden i ≥ 2, α < Aj und xj > 0 für alle ungraden j ≥ 2. Für grade i: 0 < ri = xkα + yk < xi·Ai + yi (da xk < 0) = xi(-yi+1/xi+1) + yi = 1/xi+1(yixi+1 - yi+1xi) = (-1)i+2/xi+1 = 1/xi+1. |
§9. Beste Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen |
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Vorschau: | A. Konvergenten als Ultra-Approximationen. |
B. Goldener Schnitt. | |
C. Fibonacci-Folgen. | |
D. Vergleich mit Heron-Verfahren. | |
E. Periodizität von Sonnenfinsternissen. | |
F. Das Planetarium von Christiaan Huygens. | |
Anwendungs Problem: |
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Definition: | Ein Bruch 0 < p/q ∈ /Q, gekürzt, heißt eine "distanz"-beste Approximation, an 0 < α ∈ /R, wenn |α - p/q| < |α - u/v| ∀ 0 < v <q, u/v ≠ p/q (u, v, p, q ∈ /N). |
Definition: | Ein Bruch 0 < p/q ∈ /Q, gekürzt, heißt eine "ultra"-beste Approximation
(kurz Ultra-Aproximation), an 0 < α ∈ /R, wenn |α · v - u| > |α · q - p| ∀ 0 < v <q, u/v ≠ p/q (u, v, p, q ∈ /N). Schreibweise: u(u/v, α) := |α · v - u| "Ultra-Abstand". |
Lemma: | Jede Ultra-Approximation an α ist auch distanz-beste-Approximation an α. |
Beweis: | p/q sei Ultra-Approximation. |α · v - u| > |α · q - p| ∀ u/v. |α · q - p| < |(α · v)q - u/q| = 1/q |α · v - u| ≤ 1/v(α · v - u) = |α - u/v|. |
Satz: | Die reelle Zahl Q < α ∈ /R habe die Kettenbruchentwicklung [Q0;Q1,...]. Dann sind die Näherungsbrüche Ak = (-yk+1/xk+1) für k ≤ 0 Ultra-Approximation an α. |
Beweis: | pk = (-1)k+1 · yk+1 ≥ 0; qk = (-1)k · xk+1 > 0; Ak = pk/qk > 0. |
Satz: | α sein [Q0;Q1,...], unendlich oder abbrechend mit Qn ≥ 2, d.h. α = [Q0;Q1,...,Qn]. Dann gilt: |α · qk - pk| > |α · qk+1 - pk+1| für k ≥ 0. |
Beweis: | α = [Q0;Q1,...,Qk,Qk+1,...] mit [Qk+1,...] := Q'k+1∈/R daraus folgt α = [Q0;Q1,...,Qk,Q'k+1] mit Q'k+1 ∈ /R. |
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