Teil 1: Referat "Pythagoreische Zahlentripel"
Es stand noch ein Beweis von der letzten Veranstaltung aus:
Lemma:
Es seien [a, b, c] aus PN0, [a´, b´, c´,] aus PZ und, wie schon in der letzten Veranstaltung, die Matrizen a, B = m1a, C = m2a, und D = m1m2a gegeben (siehe Protokoll vom 13.01.2004). Es gilt:
a.) Aus [a´, b´, c´] = [a, b, c] * a folgt: a´ > a, b´ > b, c´ > c.
Beweis: a´ = a + 2b + 2c > a. (Rest analog.)
b.) Aus [a´, b´, c´] = [a, b, c] * B folgt: a´ > a, b´ > b, c´ > c.
Beweis: a´ = -a + 2b + 2c > -a + 2b + 2a = a + 2b > a,
b´ > b analog,
c´ = -2a + 2b +2c + c > c.
c.) Aus [a´, b´, c´] = [a, b, c] * C folgt: a´ > a, b´ > b, c´ > c.
Beweis: Analog zu b.).
d.) Aus [a´, b´, c´] = [a, b, c] * D folgt: |a´| < a, |b´| < b, 0 < c´ < c.
Beweis: 1. Fall: a´ > 0: |a´| = -2 - 2b + 2c < -a - 2b + 2a + 2b = a.
2. Fall: a´< 0: |a´| = a + 2b - 2c < a + 2b - 2c < a + 2b - 2b = a.
Analog: |b´| < b.
c´ = -2a - 2b + 3c = -2(a + b) + 3c < -2c + 3c = c.
c´ = 3c - (2a + 2b) > 3c - (2a + 2b) = 3c - ((2a + 2b)2)1/2 > 3c - ((2a + 2b)2 + (2a - 2b)2)1/2 = 3c - (4a2 + 8ab + 4b2 + 4a2 - 8ab + 4b2)1/2 = 3c - (8(a2 + b2))1/2 > 3c - (9c2)1/2 = 0.
e.) Aus [a´, b´, c´] = [a, b, c] * D und [a, b, c] ist nicht aus der Menge J := {[1, 0, 1], [0, 1, 1]} folgt: a´ < 0 oder b´ < 0.
Beweis: Angenommen, a´ und b´ wären größer oder gleich 0:
[a´´, b´´, c´´] := [a´, b´, c´] * D = [a, b, c] * D2 = [a, b, c].
Aus d.) folgt: |a| = |a´´| < a´ < a. Dann folgt: [a´, b´, c´] = [a, b, c], was im Widerspruch zu "[a´, b´, c´] ist nicht aus J" liegt.
Es ergibt sich die Folgerung: Die Operation *D "verkleinert jedes [a, b, c] aus PN0 (bis auf das Vorzeichen).
Es ergibt sich ein Reduktionsverfahren: Gegeben sei [a0, b0, c0] aus PZ.
[a1, b1, c1] = [a0, b0, c0] * X0, wobei Xo aus <m1, m2, m3> =: M ist, sodass [a1, b1, c1] aus PN0 ist.
Dieser Vorgang wird iteriert: T := [ak, bk, ck] * Xk, Xk ist aus M mit T aus der Menge {[1, 0, 1], [0, 1, 1]} = J.
[1, 0, 1] = T * Y, wobei Y aus <P> ist (P ist Permutationsmatrix). [1, 0, 1] = [a0, b0, c0] * (X0DX1D...XkY)
[a0, b0, c0] = [1, 0, 1] * (YXk...DX0).
Es ergibt sich das Lemma:
a-1 = Dm1m2, B-1 = Dm2, C-1 = Dm1, D-1 = D. Beweis: Selbst.
Also sind die Xi aus <m1, m2>. Daraus ergibt sich: PZ ist transitiv. (Jedes Tripel lässt sich auf [1, 0, 1] zurückführen.)
Beispiel: Gegeben sei [-51, -140, 149] aus PZ.
[51, 140, 149] = [-51, -140, 149] * m1m2,
[51, 140, 149] * D = [-33, 56, 65],
[33, 56, 65] = [-33, 56, 65] * m1,
[33, 56, 65] * D = [-15, 8, 17],
[15, 8, 17] = [-15, 8, 17] * m1,
[15, 8, 17] * D = [3, -4, 5],
[3, 4, 5] = [3, -4, 5] * m2,
[3, -4, 5] * D = [-1, 0, 1],
[1, 0, 1] = [-1, 0, 1] * m1.
Also ist [1, 0, 1] = [-51, -140, 149] * (m1m2Dm1...Dm1), also [-51, -140, 149] = [1, 0, 1] * (CBCCm1m2).
Teil 2 der Veranstaltung war die Fortsetzung von § 7: Der Euklidische Algorithmus (Konvergenten).
0 < z aus IR sei gegeben. Dann sei z : 1 = a : b = r-1 : r0 := |_z_| + r.
Der EA ergibt: r-1 - Q0r0 = r1 (Q0 ist aus IN und 0 < r1 <1).
Danach ist: r0 - Q1r1 = r2 und so weiter.
(Parallel läuft der XEA mit den Startwerten x-1 = 1, x0 = 0, Y-1 = 0 und Y0 = 1 wie gehabt aus LAI. Ziel ist die Darstellung ri = xia + yib.)
z : 1 = a / b = Q0 + r1 / r0 = Q0 + 1 / (r0 / r1) = Q0 + 1 / (Q1 + (r2 / r1)) = Q1 + 1 / (Q1 + (1 / Q2 + (1/ (r2 / r3)))) usw.
[Q0, Q1, Q2] =: A2, [Q0, ..., Qk] =: Ak.
Ak := -yk+1 / xk+1. Unsere Vermutung ist: Ak konvergiert gegen a / b (für k gegen unendlich). Für die rationale Zahl z bricht der EA ab mit rn+1 = 0. An ist a / b.
Erinnerung an Satz 3 aus der Veranstaltung vom 12.11.2003: Die Determinante der Matrix
xi | yi |
xi+1 | yi+1 |
ist gleich (-1)i+1. Die Ak = -yk+1 / xk+1 sind gekürzt.
Satz 6 vom 16.12.2003: xk < 0 für ungerade k > 1, xk < 0 für gerade k > 2. |xk+1| > |xk| für k > 2; |xk| > fk [=fk-2 + fk-1]. Ähnlich ist es bei den yj.
Satz 7: Ak+1 - Ak = (-1)k+1 / xk+2xk+1.
Beweis: -yk+2 / xk+2 + yk+1 / xk+1 = (-xk+1yk+2 + yk+1xk+2) / xk+2xk+1 = (nach Satz 3) -1 / xk+2xk+1 · det H = (-1)k+1 / xk+2xk+1, wobei H :=
xi+1 | yi+1 |
xi+2 | yi+2 |
A0 = -y1 / x1 = Q0 (siehe EA), A1 = -y2 / x2 =
-(1 + Q0Q1) / -Q1 = 1 / Q1 + Q0 > Q0 = A0.
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