Elementare Zahlentheorie WS 2003/04

Protokoll vom 09.01.04 (AE)

Thema der Stunde:    Ein elementarer Zugang zu pythagoreischen Zahlentripeln (Forts. von § 8)

II Aufgabe: Bestimme alle PPZT (primitive pythagoreische Zahlentripel) (x, y, z), wobei x, y, z natürliche Zahlen sind.

Ansatz:

1. Suche Tripel mit z = x + 1 (wie zum Beispiel (4, 3, 5)).

2. Suche Tripel mit z = x + 2.

3. Suche Tripel mit z = x + 3.

4. Suche Tripel mit z = x + 4.

5. Suche Tripel mit z = x + 5.

6. Suche Tripel mit z = x + 6.

7. ....

8. Suche Tripel mit z = x + p, p Primzahl.

9. Suche Tripel mit z =x + k, k natürliche Zahl.

Ergebnisse:

1. Alle Tripel mit z = x + 1 sind von der Form ((y² - 1) / 2, y,  (y² + 1) / 2) für ungerades y. Diese Darstellung wird pythagoreische Serie genannt. 
2. Alle Tripel mit  z = x + 2 sind von der Form  ((y² - 4) / 4, y,  (y² + 4) / 4) für gerades y. Diese Darstellung wird platonische Serie genannt.
3. Alle Tripel mit z = x + 3 sind von der Form  (3 (y² - 1) / 2, 3y,  3(y² + 1) / 2) = 3((y² - 1) / 2, y,  (y² + 1) / 2). PZTs von dieser Form sind nicht  primitiv, wir bezeichnen die Darstellung als 3mal pythagoreische Serie. Wir haben also keine neuen (primitiven) Lösungen gefunden.
4. Alle Tripel mit z = x + 4 sind von der Form  2((y² - 4) / 4, y,  (y² + 4) / 4). PZTs von dieser Form sind nicht  primitiv, wir bezeichnen die Darstellung als 2mal platonische Serie. Wir haben also keine neuen Lösungen gefunden.
5. Alle Tripel mit z = x + 5 sind von der Form  5((y² - 1) / 2, y,  (y² + 1) / 2). PZTs von dieser Form sind nicht  primitiv, wir bezeichnen die Darstellung als 5mal pythagoreische Serie. Wir haben also keine neuen Lösungen gefunden.
6. Alle Tripel mit z = x + 6 sind von der Form  6((y² - 4) / 4, y,  (y² + 4) / 4). PZTs von dieser Form sind nicht  primitiv, wir bezeichnen die Darstellung als 6mal platonische Serie. Wir haben also keine neuen Lösungen gefunden.
7. .... Vorläufiges Fazit: Offenbar findet man keine neuen Lösungen mehr. Alle Lösungen sind bisher von pythagoreischer oder platonischer Form.    
8. Alle Tripel mit z = x + p (p Primzahl) sind von der Form p((y² - 1) / 2, y,  (y² + 1) / 2). Es handelt sich also um die pmal platonische Serie.

Beweis: Löse zunächst die Gleichung x² + y² = (x + p)² nach x auf. Man erhält x = ( y² - p²) / (2p). Es gilt also: 2p teilt y² - p²,
insbesondere p teilt y² - p² und p teilt y² .  * Hieraus folgt, da p Primzahl ist,  dass p auch y teilt. y ist also von der Form y = pt, t  natürliche Zahl. Es gilt also:

x = (p²t² - p²) / (2p) = p (t² - 1) / 2,
y = pt,
z = x + p = p (t²+1) / 2. 

  

9. Sind alle Tripel mit z = x + k (k beliebige natürliche Zahl) entweder von pythagoreischer oder platonischer Form?

   Nachweisversuch: (Der Anfang verläuft bis * analog zu 8.) Löse zunächst die Gleichung x² + y² = (x + k)² nach x auf. Man erhält

   x = ( y² - k²) / (2k). Also gilt: 2k teilt y² - k², also k teilt y² - k² und y².  Wir betrachten die Primfaktorzerlegung von k und stellen fest, dass sich k in einen quadratischen und einen quadratfreien Teil zerlegen lässt: k = k₁² k₂, wobei k₁, k₂ natürliche Zahlen sind und k₂ quadratfrei ist. Also folgt: k₁ k₂ teilt y und y lässt sich als y = k₁ k₂ t mit einer natürlichen Zahl t darstellen. Für x folgt: x = (y² - k²) / (2k) = ... = k₂ (t² - k₁²) / 2. Für z folgt: z = k₂(t² + k₁²) / 2.

   Insgesamt haben wir
   (x, y, z) = (k₂(t² - k₁²) / 2, t k₁, (t² + k₁²) / 2) für gerade k₂ (wir nennen dies die k₂- pythagoreische Serie) und
   ?? (x, y, z) = (k₂ (t² - k₁²), 2tk₁, t² + k₁²) für ungerade  k₂ (wir nennen dies die k₂- platonische Serie).
   Hier erhält man also für geeignete k₂ doch neue PZT.

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