Elementare Zahlentheorie WS 2003 / 2004
Stundenprotokoll
08.01.2004 (MH)
[Das Protokoll ist noch nicht redigiert.]
Begrüßung
Einstieg
Als Wiedereinstieg nach den Ferien, wird erwähnt, dass es in unserer Vorlesung um zweierlei Dinge geht: Erstens um Mathematik und zweitens um die Didaktik der Mathematik. Außerdem wird besonder Wert darauf gelegt, dass auch die Mathematik wichtig ist. Insbesondere ist die Mathematik eine ehrliche Wissenschaft. Man kann in der Mathematik nichts verschweigen und muss alle Argumente in Betracht ziehen. Man muss alles genau aufschreiben und gut hinsehen, ob auch wirklich alles erwähnt wurde, oder ob ein weggelassenes Argument das Ergebnis verändern würde und eine Tatsache übersehen wurde.
Diese Erkenntnis ist vor allem auch in der Schule wichtig. Jeder macht mal Fehler, aber es ist falsch den Schülern etwas „vorzuflunkern“.
Themeneinstieg
Wir beschäftigen uns mit Pythagoräischen Zahlentripeln (PZT). Wir kennen bereits eine Möglichkeit, diese Zahlen zu finden. Jedoch interessiert es uns, mehrere Zugänge zu ein und demselben Thema zu finden.
Auch Schüler müssen lernen, eine Aufgabe nicht nur mit einer einzigen Regel zu lösen. Es gibt fast immer verschiedene Lösungswege.
Fragen
Bestimmung aller pythagoräischen Tripel (x, y, z) aus N³ mit x² + y² = z² und primitives PZT (PPZT) ?
(Man könnte auch die Null oder die Ganzen Zahlen statt der Natürlichen Zahlen nehmen, diese Erweiterung würde jedoch nichts wesentlich Neues bringen und wir können uns auf die Natürlichen Zahlen beschränken).
Planen
a) Algebraischer Zugang (erledigt)
b) Geometrischer Zugang (heute)
c) Elementarer Zugang (nächste Vorlesung)
d) Gruppentheoretischer Zugang (nächste Woche)
Dabei ist jeweils wichtig:
I) Analyse
II) Konstruktion
Schreiben
Zu b) Geometrischer Zugang:
Idee: „Pythagoräische Zahlentripel führen auf rationale Kreispunkte“:
x² + y² = z² ---> (x/z)² + (y/z)² = 1
Mit (x/z) = x' und (y/z) = y',
wobei (x', y') Koordinaten eines Kreispunktes sind.
Plan:
1) Beziehung zwischen PZT und rationalern Kreispunkten formalisieren und explizieren.
2) Mit Zusatz-Idee „die PZT“ (primitiv) bestimmen.
Schreiben:
Zu 1) Bijektion zwischen zwei Mengen herstellen.
i) Von PZT zu rationalen Einheitspunkten:
Zu (x, y, z) aus PZT bilde (x', y') = (x/z, y/z) aus Rationaler Einheitskreispunkt (REP)
REP := { (x', y') aus Q² mit x'² + y'² = 1; x', y' > 0}
k: PZT ---> REP
(keine Bijektion, da OZT, die sich nur um Faktor l unterscheiden, dasselbe Bild erreichen).
k': PPZT ---> REP
Bild k = Bild k'
Frage:
Ist k' injektiv, surjektiv ?
Schreiben:
k' injektiv: (x, y, z), (x, y, z) aus PPZT mit (x/z, y/z), (x/z, y/z) gegeben.
Da x/z und x/z gekürzte Brüche (primitiv), folgt: x = x, z = z, y = y . Das bedeutet, dass k' injektiv ist.
ii) Von REP nach PPZT:
(x', y') = (x/z, y/z) (gekürzte Brüche, tfrd.) mit (x/z)² + (y/z)² = 1.
Dies ergibt: (x, y, z) aus PPZT;
k' surjektiv: also ist k' surjektiv.
Schreiben:
Zu 2) Bestimmung / Beschreibung von PPZT und REP.
Analyse:
Es sei (x/z, y/z) = (x', y') aus REP mit x'² + y'² = 1.
Gerade SP habe die Steigung s/t = (1 + y') / x' aus Q. Dabei ist s/t gekürzter Bruch und s > t.
Aufgelöst:
y' = (s/t) x' – 1
x'² + [(s/t) x' – 1]² = 1
[1 + (s²/t²)] x'² – 2 (s/t) x' = 0
Daraus ergibt sich durch Ausklammern:
x' = 0 (Widerspruch zu (x', y') aus REP), oder
[1 + (s²/t²)] x' = 2 (s/t).
Durch Ausrechnen und Einsetzen ergibt sich schließlich:
x' = 2st/(s² + t²) = x/z
y' = (s² – t²)/(s² + t²) = y/z
für (x, y, z) aus PPZT.
Das bedeutet:
2st = lx
s² + t² = lz
s² – t² = ly.
Daraus ergibt sich ein Zwischenergebnis:
(2st, s² – t², s² + t²) = l(x, y, z), für ein l aus N.
(2st/l, (s² – t²)/l, (s² + t²)/l) =(x, y, z).
Dann ist l = ggT (2st, s² – t²), wobei ggT (s,t) = 1.
Konstruktion:
Frage:
Liefern alle (s, t) aus N² PPZT? Welche liefern PPZT, welche PZT?
Schreiben:
(2st)² + (s² – t²)² = 4s²t² + s4 – 2s²t² + t4
= s4 + 2s²t² + t4
= (s + t)²
also immer pythagoräisch. Aber wann ist es aus PPZT?
Plan:
3 Fälle zu betrachten:
A) s ≡ 0 ≡ t mod 2
B) s ≡ 1 ≡ t mod 2
C) s ≡ 0, t ≡ 1 mod 2, oder umgekehrt.
Schreiben:
Zu A) 2 teilt s, t : nicht zugelassen
Zu B) 2 teilt g = ggT (2st, s² – t², s² + t²)
[s = 2u + 1 u > v ≥ 0
t = 2v + 1 s > t ≥ 0
Einsetzen in T = (2st, s² – t², s² + t²) = (2(2u+1)(2v+1), 4(u-v)(u+v+1), 4(u²+v²+u+v)+2),
wobei (u-v) =: s' und (u + v + 1) =: t'.
Dividiere durch 2:
½ T = (s'² – t'², 2s't', s'² + t'²)
s' + t' = (u+v+1) + (u – v) = 2u + 1 = s (ungerade)
---> Fall C) für (s', t')].
Zu C) Es sei s > t ≥ 1, ggT (s, t) = 1, s ≡ t mod 2
Dann ist (2st, s² – t², s² + t²) primitiv.
Es sei:
X:= 2st Y:= s² – t² Z:= s² + t².
Beweis:
g : = ggT (2st, s² – t²), 2 teilt g nicht;
g teilt Y + Z = 2s²
g teilt -Y + Z = 2t²
Daraus ergibt sich:
g teilt s², t², da diese teilerfremd sind, folgt: g = 1.
Das bedeutet, dass C) automatisch primitiv ist.
Analyse-Fazit:
PPZT sind von der Form (2st, s² – t², s² + t²) oder (s'² – t'², 2s't', s'² + t'²),
wobei s > t ≥ 1, ggT (s, t) = 1.