Besprechung der Hausaufgabe vom 24.10.03: Figurierte Zahlen
Aufgabenstellung: Wählen Sie aus dem Literaturverzeichnis zur Elementaren Zahlentheorie unter Figurierte Zahlen eine Quelle aus, aus der Sie einen interessanten Punkt auswählen und auf einer halben Seite darstellen.
1.Frage: Was ist an den Figurierten Zahlen didaktisch wertvoll?
Als eine Auflockerung zum Unterrichtbeginn kann man die Fig. Zahlen
verwenden, denn man kann diese auf allen vier Diskursebenen
besprechen.
Gibt es noch andere Ziele, die man durch die Behandlung der Figurierten
Zahlen verfolgen kann?
2. Frage: Geht es in der Schule um Inhalte oder Methoden? Soll der Lehrer den Schülern Begründungen geben oder nicht?
Durch eine geometrische Darstellung könnte der Lehrer die bildliche
Vorstellung der Schüler fördern. Dies ist unter anderem
auch eine Art der Begründung und zwar auf der bildlichen Ebene. Durch
Kontinuität verfestigt sich das neu erworbene Wissen des
Schülers. Der Lehrer sollte den Schülern mehrere Begründungen liefern,
damit die verschiedenen Systeme geistiger Vorstellungen der Schüler
angesprochen werden.
Aber es gibt einige Sachverhalte, die wir nicht mehr hinterfragen so wie
das Zählen zum Beispiel. Auf der ersten Diskursebene lernen die
Kinder das Zählen mit Äpfeln und Birnen. Man hat einen
Apfel und noch einen Apfel und insgesammt hat man dann zwei Äpfel.
Dann lässt man die Äpfel weg und rechnet nur noch mit
Zahlen und glaubt die Begründung dafür zu haben, warum eins
und eins zwei ergibt. Das bedeutet, dass die Kinder die Sprache
akzeptiert haben und das Zählen auch, aber das ist noch keine
Garantie dafür, dass sie mit den Zahlen ohne Probleme rechnen
können.
So stellt man fest, dass die Fächer Mathematik und Biologie, die
auf den ersten Blick ganz verschieden sind, sich doch gar sehr
ähneln, da beiden zunächst konkrete Objekte betrachten und
dann eine Theorie (natürlich nicht die
gleiche) dazu konstruieren.
Man stellt eine Hypothese auf und versucht diese durch eine Theorie zu
begründen. Das heisst, die Theorie ist das Ziel jeder
Wissenschaft.
3.Frage: Würde jahrelanges Begründen helfen? Soll man nur spezielle
Begründungen lernen oder allgemeine?
Wie es ein altes Sprichwort besagt: Übung macht den Meister.
Das Begründen muss gelernt werden am besten durch eigenständige
Arbeit, wobei der Lehrer nur als ein (allwissender) Berater zur Seite
steht. Das richtige Lesen und Schreiben spielt in diesem Zusammenhang
eine entscheidende Rolle.
Doch dabei entsteht ein Problem für den Lehrer, nämlich die Prioritäten
zu setzen und zwar entweder auf den Inhalt (wenig Begründung,
nur das Nötigste) oder auf die Begründung (Gefahr: man
schafft den vorgesehenen inhaltlichen Stoff nicht in einem
vorgegebenen Zeitrahmen).
3.1 Frage: Ist Begründen wertvoll?
Der Schüler kann mit einem begründeten Sachverhalt besser
umgehen als mit einem, der vom-himmel-gefallen ist und wo der Lehrer
sagt, dass dieser stimmt. Wie oben schon erwähnt, soll der Lehrer
dem Schüler mehrere Möglichkeiten zeigen, damit dieser die
Begründung in sein eigenes Verständnis der Mathematik
einfügen kann. Der neue Stoff wird mit dem alten in Verbindung
gesetzt, d.h. man hat gelernt.
3.2. Frage: Was ist der Sinn einer Begründung?
Die Richtigkeit einer Aussage wird festgestellt. Der Sachverhalt wird
außerdem in einen sinnvollen (eben begündeten) Zusammenhang
gestellt (so dass man ihn auch merken kann).
3.3 Frage: Geht es in der Elementaren Zahlentheorie um den Inhalt oder
ums Begründen?
Man lernt Methoden kennen, die einem helfen den Inhalt zu vermitteln, und
gleichzeitig erwirbt man die (didaktische) Fähigkeit,
Sachverhalte zu begründen und damit wieder (s. o.), die Inhalte
zu behalten.
4. Frage: Sind Figurierte Zahlen dazu geeignet, die Vollständige
Induktion zu erklären?
Das Prinzip der Voll. Ind. ist es, zwei Aussagen zu beweisen, die
Verankerung und den Induktionsschritt:
gilt die Aussage
für n, so gilt diese auch für n + 1.
Man kann dieses
Beweisprinzip an mehreren Beispielen erklären, und dann hat
sowohl der Lehrer als auch der Schüler die Sicherheit, dass die
Aussage korrekt ist oder nicht.
Durch die Induktion wird eine Verbindung zur Vorstellung beim Schüler
hergestellt.
Ein Beweisprinzip, das äquivalent zur Vollständigen Induktion
ist:
Indirekter Beweis:
Es gibt ein n, für das die Aussage nicht stimmt. Man wählt
dann
den sogenannten "kleinsten Verbrecher", also das kleinste n,
für das die Aussage nicht gilt. Das Prinzip des
kleinsten Verbrechers stellt so sicher, dass die Aussage für alle
kleineren n gilt! Das hilft bei der Produktion des gewünschten
Widerspruches im indirekten Beweis.
Fazit:
Figurierte Zahlen eignen sich vor allem gut dazu, um von einer bildlichen
Vorstellung auf eine Formel zu kommen. Gleichzeitg lernt man den
Übergang zwischen zwei verschiedenen Darstellungsformen. Denn
eine Formel ist immer präziser als ein Bild.
Als Lehrer sollte man in der Lage sein, klassengerechte Erklärungen
zu geben.
Zum Beispiel:
Unterere Stufen: Bildchen
Obere Stufen: Induktion
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zur nächsten
Stunde (31.10.03),
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