÷ƒ’À; è TeX output 2000.10.24:2358‹ ÿÿÿÿ x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ‘' ýÛ€ ïhtml:ï html:Ÿ<ð‘(íïcolor push Blackï color popŽŽ‘-öéóDÓít ½q G® cmr17ºEn‘ÿuNumerating–BÚlarge“orbits“and“directŽŸ ’ AcondensationŽŸ#Ÿô‘V¶‡óX«Q ff cmr12»F‘þÓ4rank–³/LdD‘øŽõubdCec›¼k“and“Max“Neunh‘øó9oerŽŽŽŽŽŸ,9Ž’ ¥Òïcolor push Blackï color popŽŽ’ ªèÎóò"V
ó3
cmbx10ÇAbstractŽŸMÆ‘lÏïcolor push Black‘ðï color popŽŽ‘-Ì»óKñ`y
ó3
cmr10ÆW‘ÿee–CådescribMÞe“a“new“implemenš²!tation“of“óý ':
ó3
cmti10Èdir–ÿp¹e“ct‘{Ïc“ondensationÆ,‘kDwhic˜hŽ¤
™š‘_ìis–µa“tošMÞol“in“computational“represen²!tation“theory‘ÿe.‘ üThe“crucial“p˜oin²!tŽ¡‘_ìfor–þ³this“is“the“enš²!umeration“of“v˜ery“large“orbits“for“a“group“acting“onŽ¡‘_ìsome–@uset.‘¬W‘ÿee“presenš²!t“a“v‘ÿdDariation“of“the“standard“orbit“en˜umerationŽ¡‘_ìalgorithm–Fëthat“reduces“the“amounš²!t“of“storage“needed“and“bMÞeha˜v˜esŽ¡‘_ìw²!ell–Ãunder“parallelization.‘øôF‘ÿeor“the“spMÞecial“case“of“matrices“acting“onŽ¡‘_ìa–[ªnite“vš²!ector“space“an“ecien˜t“implemen˜tation“is“describMÞed.‘ÄôThis“al-Ž¡‘_ìlo²!ws–5to“use“condensation“methošMÞds“for“considerably“larger“p˜erm²!utationŽ¡‘_ìrepresen²!tations–¦fas“could“bšMÞe“handled“b˜efore.ŽŸ6gïhtml:ï html:ŸÞïóÂÖN G® cmbx12Ê1Ž‘(ôIn‘ÿuÂtro‘ Š=ductionŽŸb#ó ÂÖN cmbx12ËNotation.‘ góX«Q cmr12¹Let›*ó#·ág£ cmmi12ÎG–iî¹=“ó&!",š
cmsy10ÑhÎgŸÌÌó!|{Y cmr8Ì1Ž‘ÀÎ;–ÿþ:“:“:Ž‘Êœ;‘ÿþgŸÌÌó$×2 cmmi8ÏrŽ‘’bÑi˜¹bSŽe˜a˜group˜giv•¬ren˜b“y˜Îr‘ูgenerators.‘ gLet˜ÎMŽ¤€ ¹bSŽe–x®a“set,‘Ü/SŽ‘cGÎyn9mŽ‘Ó;¹(ÎM›@ä¹)“the“symmetric“group“on“ÎM‘¹’¹and“Αi¹:–úÍÎG“Ñ!“¹SŽ‘åÎyn9mŽ‘ñÙ¹(ÎM˜¹)‘x®aŽ¡homomorphism.‘ˆ¹W‘ÿVe–Fsa¬ry“that“ÎG–6úó2›»ˆ@ cmti12Ýis“acting“on“ÎM›@ä¹,‘Kíand–Ffor“Îm–6^Ñ2“ÎM˜¹,‘KíÎg‘¤—Ñ2“ÎGŽ¡¹wš¬re–write“Îmg‘óó¹:=‘…ºÎ•n9¹(Îg“¹)(Îm¹).‘QdClearly‘ÿV,‘Ê4Α¸¹is–uniquely“determined“b˜y“the“imagesŽ¡În9¹(ÎgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹),›¼t1–URÑ“Îi“Ñ“ÎrSŽ¹,˜of–°çits“generators.‘% W‘ÿVe“call“the“elemen¬rts“of“ÎM‘ñËÝp‘ÿffoints¹,˜and“forŽ¡Îm–¹Ñ2“ÎM‘™¹the–X+set“ÎmG–¹¹:=“ÑfÎmg›}òÑj“Îg˜Ñ2“ÎGÑg–X+¹is“called“the“ÎGÝ-orbit–—Þof“Îm“Ý(under“theŽ¡action‘35În9Ý)¹.‘8àLet–ê¨ÎmŸÌÌÌ0Ž‘VÑ2‘URÎM‘+Œ¹suc¬rh“that“its“ÎG¹-orbit“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“¹is“nite.ŽŸ€ ‘ŸôLet–l…ÎK‘I#¹bSŽe“a“subgroup“of“ÎG¹,‘Œüalso“givš¬ren“b˜y“a“nite“n˜um˜bSŽer“of“generators.Ž¡The–Öúmain“purpšSŽose“of“this“pap˜er“is“the“discussion“of“an“algorithm“whic¬rhŽ¡computes–¨0for“eac¬rh“ÎK‘ Üž¹-orbit“ÎmK‘1ðÑ–URÎmŸÌÌÌ0Ž›ÀÎG¹,‘µ{Îm“Ñ2“ÎmŸÌÌÌ0Ž˜ÎG¹,‘µ{the–¨0inš¬rtersection“n˜um˜bSŽersŽ¡of–î>its“translates“ÎmK› ÜžgŸÌÌÏiŽ‘S¹with“all“suc¬rh“ÎK˜¹-orbits.‘C¡This“is“explained“in“section“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942ï html:ï color popŽ¡whicš¬rh–šstarts“with“the“description“of“t˜w˜o“basic“algorithms“for“en˜umerating“anŽ¡orbit.ŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À1Ž’† ï color popŽŽŒ‹ * x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘8Ÿô¹An–Æ inš¬rteresting“in˜terpretation“of“these“n˜um˜bSŽers“in“the“represen˜tation“the-Ž¤€ ‘' ory–Ã\of“the“group“ÎG“¹is“shortly“explained“in“section“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08945ï html:ï color pop,‘Ë8whicš¬rh“also“con˜tains“t˜w˜oŽ¡‘' explicit–ypexamples.‘#This“application,›called“Ýdir–ÿffe“ct‘Ë$c“ondensation¹,˜w¬ras–ypour“orig-Ž¡‘' inal–\ motiv‘ÿXäation“for“this“note.‘IBut“w¬re“hopšSŽe“that“our“general“remarks“ab˜outŽ¡‘' enš¬rumerating–ê¨large“orbits“will“bSŽe“useful“for“other“applications“as“w˜ell.Ž¡‘8ŸôThe–result“in“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08945.3ï html:ï color pop“is“of“indepSŽendenš¬rt“in˜terest“bšSŽecause“it“can“b˜e“used“to“nishŽ¡‘' the–ý determination“of“the“decompšSŽosition“n•¬rum“b˜ers–ý of“the“symmetric“groups“ÎSŸÌÌÏnŽ‘¨P¹,Ž¡‘' 21–URÑ“În“Ñ“¹23,–ê¨in“cš¬rharacteristic“5.‘8àThese“w˜ere“previously“unkno˜wn.Ž¡‘8ŸôThe–äemphasis“in“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop“is“to“givš¬re“it“in“a“w˜a˜y“whic˜h“mak˜es“it“easyŽ¡‘' to–#Lnd“v‘ÿXäariations“alloš¬rwing“the“practical“application“to“v˜ery“large“cases.‘âËF‘ÿVorŽ¡‘' example–†ûit“ma¬ry“not“bšSŽe“p˜ossible“to“store“all“p˜oin¬rts“of“the“orbit“on“a“computerŽ¡‘' bšSŽecause–õŸit“w¬rould“need“to˜o“m•¬ruc“h–õŸmemory‘ÿV.‘YÅTherefore“wš¬re“in˜troSŽduce“a“conceptŽ¡‘' of–[Ýminimal“¹pšSŽoin¬rts“in“an“orbit“and“only“those“need“to“b˜e“stored“during“theŽ¡‘' algorithm.Ž¡‘8ŸôIn–Ë°section“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08943ï html:ï color pop“wš¬re“mak˜e“this“explicit“in“the“impSŽortan˜t“practical“case“w˜ereŽ¡‘' ÎG–¼£¹is“acting“via“matrices“on“a“(nite)“vš¬rector“space.‘®ÐW‘ÿVe“sho˜w“a“w˜a˜y“to“de-Ž¡‘' ne–+Dminimal“elemenš¬rts“whic˜h“allo˜ws“to“get“v˜ery“ecien˜tly“from“an“arbitraryŽ¡‘' vš¬rector–¯qin“the“orbit“to“a“minimal“one“in“the“same“ÎK‘ Üž¹-orbit.‘‡;This“is“the“k˜eyŽ¡‘' pSŽoin•¬rt›P!whic“h˜mak“es˜our˜algorithm˜for˜direct˜condensation˜m“uc“h˜more˜ecien“tŽ¡‘' than–Hßa“previous“implemen¬rtation“describSŽed“in“[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942ï html:ï color popŽ‘ßü]“(see“section“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08945.2ï html:ï color pop“for“moreŽ¡‘' details).‘bwIn–£0section“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08944ï html:ï color pop“w¬re“discuss“a“parallelization“of“the“algorithm“and“ourŽ¡‘' implemenš¬rtation.‘£This–Dñcan“bSŽe“used“to“treat“substan˜tially“larger“cases“as“couldŽ¡‘' bšSŽe–ê¨handled“b˜efore.Ž¡‘8ŸôËAc• kno“wledgemen“t.‘V6¹W‘ÿVe–Ÿwš¬rould“lik˜e“to“thank“J.“MSŽ‘ùÌvuller“for“v˜ery“usefulŽ¡‘' discussions–ê¨on“the“topic.Ž‘' ŸÌÇïhtml:ï html:Ÿª¬Ê2Ž‘(ôThe–záorbit“algorithm“and“v‘þë…ariationsŽŸb#¹In–ÖÂthis“section“wš¬re“rst“describSŽe“algorithms“to“en˜umerate“the“ÎG¹-orbit“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎGŽ¡¹from–¤the“givš¬ren“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘VÑ2‘URÎM‘ä÷¹and“giv˜en“În9¹(ÎgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹),‘²01–URÑ“Îi“Ñ“ÎrSŽ¹.‘!Y(Recall–¤that“w˜e“assumedŽ¡that–ê¨ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“¹is“nite.)ŽŸ,Èïhtml:ï html:Ÿ ó3ÂÖN ff cmbx12Þ2.1Ž‘$æcThe–ffbasic“algorithmŽŸ@ ¹W‘ÿVe–ê¨start“with“the“basic“algorithm.ŽŸUTïhtml:ï html:ŸdN‘ú ïcolor push Black‘ßüËAlgorithm‘€ 2.1ï color popŽŽ‘XURó5߆µT cmtt12àOrbitŽ¡ËInput:‘8àÎmŸÌÌÌ0Ž‘VÑ2›URÎM‘@äó4‚ÎR6 cmss12ß,–ê¨În9¹(ÎgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹)ß,“¹1˜Ñ˜Îi˜Ñ˜ÎrŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À¹2Ž’† ï color popŽŽŒ‹ « x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘' ËOutput:‘8àßa–ê¨list“ÎL“ßcontaining“the“elements“of“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎGŽ¤€ ‘' ßInitialize:‘8àÎL–UR¹:=“[ÎmŸÌÌÌ0Ž‘À¹]Ž¡‘' Ëfor–ê¨Îm“ßin“ÎL“ËdoŽ¡‘:ê»for–ê¨Îi“ßfrom“¹1“ßto“Îr‘>6ËdoŽ¡‘NÕvÎx–UR¹:=“ÎmgŸÌÌÏiŽŽ¡‘NÕvËif–ê¨Îx“ßis“not“contained“in“ÎL“ËthenŽ¡‘bÀ1ßappSŽend–ê¨Îx“ßto“the“list“ÎLŽ¡‘NÕvËend‘€ ifŽ¡‘:ê»end‘€ forŽ¡‘' end‘€ forŽ¡‘' ßreturn‘ê¨ÎLŽ©œK‘8Ÿô¹The–Æsalgorithm“terminates“bSŽecause“of“the“assumption“that“the“orbit“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎGŽ¡‘' ¹is– ¹nite.‘{It“is“clear“that“the“resulting“list“ÎL“¹conš¬rtains“only“elemen˜ts“from“theŽ¡‘' ÎG¹-orbit–uHof“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘À¹.‘ÀF‘ÿVurthermore“ÎL“¹is“in•¬rv‘ÿXäarian“t–uHunder“the“action“of“the“generatorsŽ¡‘' ÎgŸÌÌÏiŽ‘žé¹and–:so“under“their“in•¬rv“erses–:ÎgŸû‡n9ó'¾KÈ cmsy8Ò Ì1ŽŸ
ÀÏiŽŽ‘ʵ¹.‘þSince“eacš¬rh“elemen˜t“of“ÎG“¹is“a“nite“proSŽductŽ¡‘' of–~–these“generators“and“their“in•¬rv“erses–~–ÎL“¹is“in•¬rv‘ÿXäarian“t–~–under“the“action“of“ÎG¹.Ž¡‘' This–ê¨shoš¬rws“that“ÎL“¹con˜tains“exactly“the“elemen˜ts“of“the“orbit“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG¹.Ž¡‘8ŸôCounš¬rting–ê¨the“n˜um˜bšSŽer“of“necessary“op˜erations“in“the“algorithm“w¬re“nd:Ž‘' ŸUTïhtml:ï html:ŸF÷‘ú ïcolor push Black‘ßüËProp` osition‘€ 2.2ï color popŽŽ‘`£ÝThe–î“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.1ï html:ï color pop“ne–ÿffe“ds–î“Îr‘B!Ýtimes“the“length“of“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“Ýop–ÿffer“a-Ž¡tions–È,c›ÿffonsisting“of“an“applic˜ation“of“a“gener˜ator“of“ÎG“Ýto“a“p˜oint“and“a“lo˜okupŽ¡of–35the“r›ÿffesulting“p˜oint“in“the“list“of“known“p˜oints.Ž¦‘Ÿô¹Note–“6that“with“a“naivš¬re“implemen˜tation“of“the“lošSŽokup“of“p˜oinš¬rts“in“ÎL“¹b˜yŽ¡sequen¬rtial–½%comparison“the“lošSŽokup“part“of“an“op˜eration“describ˜ed“in“the“prop˜o-Ž¡sition–¨Owš¬rould“tak˜e“most“of“the“running“time“in“case“of“large“orbits.‘"ÂBut“usingŽ¡a–Mstandard“tecš¬rhnique“lik˜e“hash“tables,›E“see“[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08945ï html:ï color popŽ‘ßü,˜6.4],˜the“time“for“a“single“loSŽokupŽ¡bšSŽecomes–ê¨(almost)“indep˜enden¬rt“of“the“length“of“the“orbit.ŽŸk ïhtml:ï html:Ÿ Þ2.2Ž‘$æcLarge‘fforbitsŽŸ@ ¹Our–ªÓinš¬rterest“here“is“the“practical“en˜umeration“of“large“orbits.‘#™Tw˜o“problemsŽ¡arise:‘Rthe–ƒ‹list“of“all“pšSŽoin¬rts“in“an“orbit“do˜es“not“t“in¬rto“the“computer“memoryŽ¡and–Ïthe“running“time“of“the“algorithm“maš¬ry“bSŽe“longer“than“w˜e“w˜an˜t“to“w˜aitŽ¡for–ê¨the“result.Ž¡‘ŸôBoth–Ðproblems“are“addressed“bš¬ry“the“follo˜wing“v‘ÿXäariation“of“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.1ï html:ï color pop.Ž¡‘ŸôW‘ÿVe–¸Ówill“noš¬rw“assume“that“w˜e“ha˜v˜e“a“partition“of“ÎM‘ù·¹whic˜h“is“a“renemen˜tŽ¡of–¶Nthe“partition“inš¬rto“ÎG¹-orbits.‘›ÑAs“a“t˜ypical“example“think“of“the“partitionŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À3Ž’† ï color popŽŽŒ‹ ¸ x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘' ¹inš¬rto– àorbits“under“a“subgroup“of“ÎG¹.‘õF‘ÿVurthermore“w˜e“assume“that“for“eac˜h“partŽ¤€ ‘' a–ÃÌnon-emptš¬ry“subset“is“dened“whose“pSŽoin˜ts“w˜e“will“call“Ýminimal¹.‘+ìFinally“w˜eŽ¡‘' assume–ê¨in“the“folloš¬rwing“algorithm“that“w˜e“ha˜v˜e“three“functions“a˜v‘ÿXäailable:Ž¡‘' Ñ–
àpart¹,‘F£whicš¬rh“returns“for“a“giv˜en“Îm–/*Ñ2“ÎM‘Aî¹a–
list“of“the“pSŽoin˜ts“in“the“partŽ¡‘' con¬rtaining‘ê¨Îm¹.Ž¡‘' Ñ–žÑàminimals¹,‘üwhicš¬rh“returns“for“a“giv˜en“Îm–URÑ2“ÎM‘ßµ¹a–žÑlist“of“the“minimal“pSŽoin˜ts“ofŽ¡‘' àpart¹(Îm¹).Ž¡‘' Ñ–¡4àminimal¹,‘¯åwhicš¬rh“returns“for“a“giv˜en“Îm–URÑ2“ÎM‘â¹one–¡4minimal“pSŽoin˜t“in“àpart¹(Îm¹).Ž¡‘8ŸôT‘ÿVo›‚Wsa•¬rv“e˜computer˜memory˜for˜the˜orbit˜ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG˜¹the˜follo“wing˜algorithm˜willŽ¡‘' compute–ê¨only“a“list“of“its“minimal“pSŽoin¬rts.Ž‘' ŸUTïhtml:ï html:Ÿ*¬‘ú ïcolor push Black‘ßüËAlgorithm‘€ 2.3ï color popŽŽ‘XURàOrbitByPartitionŽ¡ËInput:‘8àÎmŸÌÌÌ0Ž‘VÑ2›URÎM‘@äß,–ê¨În9¹(ÎgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹)ß,“¹1˜Ñ˜Îi˜Ñ˜ÎrŽ¡ËOutput:‘µßa–¦Slist“ÎL“ßcontaining“the“minimal“elements“of“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“ßwith“one“element“ofŽ¡each–ê¨paš¬rrt“ma˜rk˜ed“as“rep˜resentativeŽ¡Initialize:‘8àÎL–UR¹:=“àminimalsŽ‘4»º¹(ÎmŸÌÌÌ0Ž‘À¹)–ê¨ßand“maš¬rrk“rst“element“as“rep˜resentativeŽ¡Ëfor–ê¨ÎmŸû¥2Ò0Ž‘¸áßin“ÎL“ßwhich“is“ma•¬rrk“ed–ê¨as“rep¬rresentative“ËdoŽ¡‘ê»ÎLŸÌÌÌ1Ž‘V¹:=‘URàpartŽ‘†¹(ÎmŸû¥2Ò0Ž‘Î9¹)Ž¡‘ê»Ëfor–ê¨Îm“ßin“ÎLŸÌÌÌ1Ž‘ª¬ËdoŽ¡‘'Õvfor–ê¨Îi“ßfrom“¹1“ßto“Îr‘>6ËdoŽ¡‘;À1Îx–UR¹:=“àminimalŽ‘.Ží¹(ÎmgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹)Ž¡‘;À1Ëif–ê¨Îx“ßis“not“contained“in“ÎL“ËthenŽ¡‘OªìßappSŽend–ê¨the“elements“of“àminimalsŽ‘5Q¹(Îx¹)“ßto“ÎL“ßandŽ¡‘Oªìmaš¬rrk–ê¨one“of“the“new“pSŽoints“as“rep˜resentativeŽ¡‘;À1Ëend‘€ ifŽ¡‘'Õvend‘€ forŽ¡‘ê»end‘€ forŽ¡end‘€ forŽ¡ßreturn‘ê¨ÎLŽŸ€ ‘Ÿô¹Note–ÿ©that“with“the“output“ÎL“¹of“this“algorithm“it“is“pSŽossible“to“run“throughŽ¡all–ÃpšSŽoin¬rts“in“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“¹using“the“function“àpart“¹as“ab˜o•¬rv“e.‘ÖYAlso,‘þ1one–Ãcan“c•¬rhec“k–Ãfor“anŽ¡arbitrary–ÜÆpSŽoinš¬rt“Îm–URÑ2“ÎM‘ª¹whether–ÜÆit“is“con˜tained“in“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“¹b˜y“c˜hec˜king“whetherŽ¡àminimalŽ‘+9›¹(Îm¹)–ê¨is“in“ÎL¹.Ž¡‘ŸôThe–;Corder“in“whic¬rh“the“parts“are“handled“in“the“outer“loSŽop“of“this“algo-Ž¡rithm–ÆdošSŽes“not“matter“(except“for“the“ordering“of“the“p˜oin¬rts“in“the“resultingŽ¡list–'ºÎL¹).‘ðW‘ÿVe“will“shoš¬rw“in“section“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08944ï html:ï color pop“ho˜w“to“use“this“for“parallelizing“the“algo-Ž¡rithm.ŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À4Ž’† ï color popŽŽŒ‹ 'ì x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ‘' ýÛ€ ïhtml:ï html:Ÿ Þ2.3Ž‘$æcOrbit–ffinŒÌtersection“matricesŽŸ@ ¹Let–ÈÓÎK‘_Õ¹=‘ƒ7ÑhÎkŸÌÌÌ1Ž‘ÀÎ;–ÿþ:“:“:Ž‘Êœ;‘ÿþkŸÌÌÏsŽ‘n<Ñi“¹bSŽe“a“subgroup“of“ÎG“¹givš¬ren“b˜y“Îs“¹generators“and“letŽ¤€ ÎmŸÌÌÌ1Ž‘ÀÎ;–ÿþ:“:“:Ž‘Êœ;‘ÿþmŸÌÌÏmŽ‘ïl¹bSŽe›ê¨represen•¬rtativ“es˜of˜the˜ÎK‘ Üž¹-orbits˜within˜ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG¹.ŽŸUTïhtml:ï html:Ÿ*¬‘ú ïcolor push Black‘ßüËDenition‘€ 2.4ï color popŽŽ‘V!ùIn–½+the“setting“abSŽo•¬rv“e›½+w“e˜call˜the˜matrices˜(Ž‘
NïÎaŸÌÌÏk6…lŽ‘ÅZ¹(ÎgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹))ŽŽ‘.ùÇŸ€ Ì1ÒÏk6…;lKÒÏmŽŽ¡¹withŽ¡‘ ÆÎaŸÌÌÏk6…lŽ‘ÅZ¹(ÎgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹)–UR:=“ÑjŽ‘ª¨ÎmŸÌÌÏkŽ‘#’ÎK– ÜžgŸÌÌÏiŽ‘‚Ñ\‘ª¨ÎmŸÌÌÏlŽ‘!ÈÎK“ÑjŽŽ‘TånÎ;ŽŸ ¹for›ê¨1–URÑ“Îi“Ñ“ÎrSŽ¹,˜the˜ÎK‘ ÜžÝ-orbit–35interse›ÿffction“matric˜es“of“the“ÎgŸÌÌÏiŽ‘˜Ýon“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG¹.Ž©€ ‘ŸôW‘ÿVe–‘iare“inš¬rterested“in“the“practical“computation“of“these“orbit“in˜tersectionŽ¡matrices.‘,In–ņsection“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08945ï html:ï color pop“w¬re“will“discuss“an“application“of“these“matrices“in“theŽ¡represen¬rtation–ê¨theory“of“the“group“ÎG¹.Ž¡‘ŸôF‘ÿVrom–+ùnoš¬rw“on“w˜e“will“assume“that“the“partition“of“ÎM‘lݹdescribSŽed“in“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.2ï html:ï color pop“isŽ¡a–ê¨renemenš¬rt“of“its“partition“in˜to“ÎK‘ Üž¹-orbits.Ž¡‘ŸôIn–
the“folloš¬rwing“algorithm“w˜e“use“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.3ï html:ï color pop“àOrbitByPartition“¹in“t˜w˜o“w˜a˜ys:Ž¡First,›³w¬re–αuse“it“for“the“whole“orbit“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG¹,˜the“partition“bSŽeing“givš¬ren“b˜y“theŽ¡ÎK‘ Üž¹-orbits,‘7Ýand–(lsupplemenš¬rted“b˜y“some“b•SŽo“okk˜eeping–(lfor“the“orbit“in˜tersectionŽ¡matrices.‘ìÝAnd–žsecond,›4:w¬re“use“it“as“it“is,˜the“parts“bšSŽeing“as“b˜efore,‘4:to“computeŽ¡the‘ê¨ÎK‘ Üž¹-orbits.Žïhtml:ï html:¦‘ú ïcolor push Black‘ßüËAlgorithm‘€ 2.5ï color popŽŽ‘XURàOrbitIntersectionMatricesŽ¡ËInput:‘8àÎmŸÌÌÌ0Ž‘Àß,–ê¨Îšn9¹(ÎgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹)ß,“¹1–URÑ“Îi“Ñ“ÎrSŽß,–ê¨Î˜¹(ÎkŸÌÌÏjŽ‘f
¹)ß,“¹1–URÑ“Îj‘%Ñ“ÎsŽ¡ËOutput:Ž¡‘ê»Ñ–ê¨ßa“list“ÎL“ßcontaining“the“minimal“elements“of“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“ßwith“one“elementŽ¡‘'Õvof–ê¨each“paš¬rrt“ma˜rk˜ed“as“rep˜resentativeŽ¡‘ê»Ñ–ê¨ßa“map“ànrŽ‘™”¹:–URÎL“Ñ!“f¹1Î;–ÿþ:“:“:Ž‘Êœ;‘ÿþmÑg–ê¨ßwith“ànrŽ‘DB¹(Îa¹)–UR=“Îl‘.7ßif‘ê¨Îa“Ñ2“ÎmŸÌÌÏlŽ‘!ÈÎKŽ¡‘ê»Ñ–ê¨ßthe“oš¬rrbit“intersection“matrices“ÎAŸû¥2Ì(ÏiÌ)Ž‘
V¤¹:=‘UR(ÎaŸÌÌÏk6…lŽ‘ÅZ¹(ÎgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹))“ßfo˜r“¹1–URÑ“Îi“Ñ“ÎrŽ¡ßInitialize:Ž¡‘ê»Ñ–ê¨Îk‘¼o¹:=‘UR1‘ÕPß(loSŽop“vaš¬rriable“fo˜r“numbSŽer“of“ÎK‘ Üžß-o˜rbit)Ž¡‘ê»Ñ‘ê¨ÎL–UR¹:=“àOrbitByPartitionŽ‘f""¹(ÎmŸÌÌÌ0Ž–ÀÎ;›ÿþn9¹(ÎkŸÌÌÌ1Ž“¹)Î;˜:˜:˜:Ž‘Êœ;˜n9¹(ÎkŸÌÌÏsŽ‘n<¹))Ž¡‘'Õvß(staš¬rrt–ê¨with“minimal“elements“in“rst“ÎK‘ Üžß-o˜rbit“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎK‘ Üžß)Ž¡‘ê»Ñ›ê¨În–UR¹:=“1˜ß(numbSŽer˜of˜last˜found˜ÎK‘ Üžß-o¬rrbit)Ž¡‘ê»Ñ‘ê¨ànrŽ‘DB¹(Îa¹)–UR:=“1–ê¨ßfo¬rr“all“Îa–URÑ2“ÎLŽ¡‘ê»Ñ–ê¨ÎAŸû¥2Ì(ÏiÌ)Ž‘
V¤¹:=›UR(0)“ßfo¬rr“¹1˜Ñ˜Îi˜Ñ˜Îr‘>6ß(initialize“ÎAŸû¥2Ì(ÏiÌ)Ž‘
ëúßwith“¹1–ª¨Ñ“¹1–ê¨ßzero“matrices)Ž¡Ëwhile–ê¨Îk‘¼oÑ‘URÎn“ËdoŽ¡‘ê»ß(loSŽop–ê¨over“ÎK‘ Üžß-oš¬rrbits“in“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎGß,“w˜e“evaluate“only“one“of“its“pa˜rts“at“one“time)Ž¡‘ê»ÎLŸÌÌÌ1Ž‘V¹:=–ê¨ßlist“of“Îa–URÑ2“ÎL–ê¨ßwith“ànrŽ‘DB¹(Îa¹)–UR=“ÎkŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À¹5Ž’† ï color popŽŽŒ‹ 2æ x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘:ê»Ëfor–ê¨ÎmŸû¥2Ò0Ž‘¸áßin“ÎLŸÌÌÌ1Ž‘ª¬ßwhich“is“ma•¬rrk“ed–ê¨as“repš¬rresentative“of“its“pa˜rt“ËdoŽ¤€ ‘NÕvÎLŸÌÌÌ2Ž‘V¹:=‘URàpartŽ‘†¹(ÎmŸû¥2Ò0Ž‘Î9¹)Ž¡‘NÕvËfor–ê¨Îm“ßin“ÎLŸÌÌÌ2Ž‘ª¬ËdoŽ¡‘bÀ1for–ê¨Îi“ßfrom“¹1“ßto“Îr‘>6ËdoŽ¡‘vªìÎx–UR¹:=“àminimalŽ‘.Ží¹(ÎmgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹)Ž¡‘vªìËif–ê¨Îx“ßis“not“contained“in“ÎL“ËthenŽ¡’ Š•§ß(ÎK‘ Üžß-oš¬rrbit–ê¨ÎxK‘ÇFßis“not“y˜et“kno˜wn,“w˜e“compute“it“no˜w)Ž¡’ Š•§În–UR¹:=“În–ª¨¹+“1Ž¡’ Š•§ßappSŽend‘ê¨àOrbitByPartitionŽ‘f·x¹(Îx;–ÿþšn9¹(ÎkŸÌÌÌ1Ž‘À¹)Î;“:“:“:Ž‘Êœ;“˜¹(ÎkŸÌÌÏsŽ‘n<¹))–ê¨ßto“ÎLŽ¡’ Š•§ßset‘ê¨ànrŽ‘DB¹(Îa¹)–UR:=“În–ê¨ßfo¬rr“the“new“pSŽoints“in“ÎLŽ¡’ Š•§ßenlaš¬rrge–ê¨all“ÎAŸû¥2Ì(ÏjvÌ)Ž‘‚ß,“¹1–URÑ“Îj‘%Ñ“ÎrSŽß,–ê¨b˜y“a“zero-column“and“-ro˜wŽ¡’ Š•§ÎAŸùÝßÌ(ÏiÌ)ŽŸ y¹Ïk6…nŽŽ‘
¡4¹:=‘UR1Ž¡‘vªìËelseŽ¡’ Š•§ß(in–ê¨this“case“wš¬re“kno˜w“the“numbSŽer“of“the“ÎK‘ Üžß-o˜rbit“of“Îxß)Ž¡’ Š•§Îl‘˜á¹:=‘URànrŽ‘®ì¹(Îx¹)ŽŸ"!’ Š•§ÎAŸùÝßÌ(ÏiÌ)ŽŸ y¹Ïk6…lŽŽ‘
V¤¹:=‘URÎAŸùÝßÌ(ÏiÌ)ŽŸ y¹Ïk6…lŽŽ‘«ú¹+‘ª¨1Ž¡‘vªìËend‘€ ifŽ¡‘bÀ1end‘€ forŽ¡‘NÕvend‘€ forŽ¡‘:ê»end‘€ forŽ¡‘' end‘€ whileŽ¡‘' ßreturn–ê¨ÎLß,“ànr“ßand“ÎAŸû¥2Ì(ÏiÌ)Ž‘
ëúßfo¬rr“¹1–URÑ“Îi“Ñ“ÎrŽ©E‘8Ÿô¹Note– Îthat“in“this“algorithm“only“the“minimal“pšSŽoin¬rts“of“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“¹plus“the“p˜oin¬rtsŽ¡‘' of–/4one“part“at“a“time“ha•¬rv“e–/4to“bSŽe“stored.‘…Tš¬rypical“orbit“in˜tersection“matricesŽ¡‘' are–:Ødense.‘ )oThat“means“that“during“the“execution“of“this“algorithm“thereŽ¡‘' are›rŽt•¬rw“o˜phases.‘ГDuring˜the˜rst˜phase˜mainly˜new˜ÎK‘ Üž¹-orbits˜are˜ev‘ÿXäaluated.Ž¡‘' After–÷the“computation“of“the“rst“few“roš¬rws“of“the“orbit“in˜tersection“matricesŽ¡‘' the–flist“ÎL“¹is“complete.‘« In“the“second“phase“the“remaining“part“of“the“orbitŽ¡‘' in¬rtersection–ê¨matrices“is“determined.Ž‘' ïhtml:ï html:¦‘ú ïcolor push Black‘ßüËRemark‘€ 2.6ï color popŽŽ‘JN6¹Assume–‡that“wš¬re“ha˜v˜e“already“run“the“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop“once“andŽ¡w•¬ran“t–ÍØto“knoš¬rw“the“orbit“in˜tersection“matrices“for“additional“elemen˜ts“of“ÎG¹.Ž¡This–ÊYcan“bSŽe“ac•¬rhiev“ed›ÊYb“y˜a˜small˜moSŽdication˜of˜the˜previous˜algorithm:‘¨¸InputŽ¡are–O‚the“elemenš¬rts“of“G‘O[whose“orbit“in˜tersection“matrices“w˜e“w˜an˜t“to“kno˜w“andŽ¡the–E"resulting“ÎL“¹and“ànr“¹from“a“previous“call“of“àOrbitIntersectionMatrices¹.Ž¡The–(æonly“dierence“is“no¬rw“that“in“the“initialization“ÎL“¹and“ànr“¹are“set“to“theŽ¡givš¬ren–ê¨ones.‘8àOf“course,“here“the“case“Îx–URÑ62“ÎL–꨹in“the“inner“loSŽop“nev˜er“oSŽccurs.ŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À6Ž’† ï color popŽŽŒ‹ AC x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ‘' ýÛ€ ïhtml:ï html:Ÿ Ê3Ž‘(ôThe–zácase“of“matrices“acting“on“v‘ÿuÂectorsŽŸb#¹One–case“for“the“setup“in“section“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942ï html:ï color pop“is“that“the“set“ÎM‘^ì¹is“a“nite“dimensionalŽ¤€ v•¬rector›¢B(ro“w)˜space˜o“v“er˜a˜nite˜eld˜and˜the˜action˜of˜the˜generators˜ÎgŸÌÌÏiŽ‘¹(andŽ¡the–ê¨ÎkŸÌÌÏjŽ‘f
¹)“is“describSŽed“bš¬ry“matrices“acting“on“ÎM‘+Œ¹b˜y“righ˜t“m˜ultiplication.Ž¡‘ŸôThere–¥is“an“implemen¬rtation“of“a“parallelized“algorithm“for“computingŽ¡orbit–päinš¬rtersection“matrices“in“this“case“b˜y“G.“Co•SŽop“erman–päand“M.“Tselman,Ž¡see–*[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942ï html:ï color popŽ‘ßü].‘€gAn“impšSŽortan¬rt“asp˜ect“of“their“algorithm“is“also“to“sa•¬rv“e–*memory“b¬ryŽ¡not–G1storing“all“pšSŽoin¬rts“in“the“orbit.‘N|But“if“the“prop˜ortion“of“stored“elemen¬rtsŽ¡in–œsucš¬rh“an“orbit“is“1Î=¹,‘eYthen“one“needs“in“a˜v˜erage“abSŽout“Α-+¹v˜ector-matrixŽ¡mš¬rultiplications–Ato“nd“from“an“arbitrary“pSŽoin˜t“in“this“ÎK‘ Üž¹-orbit“one“of“theŽ¡stored–zpSŽoinš¬rts.‘€VThis“essen˜tially“leads“to“a“m˜ultiplication“of“the“total“runningŽ¡time–ê¨of“the“algorithm“b¬ry“a“factor“ι.Ž¡‘ŸôAnother–2Dapproacš¬rh“w˜as“tak˜en“b˜y“R.“P˜ark˜er“and“R.“Wilson“who“ha˜v˜e“aŽ¡(sequenš¬rtial)–program“whic˜h“uses“"tadpSŽoles"“for“sa˜ving“memory‘ÿV.‘Ö?Since“thereŽ¡doSŽes–èðnot“seem“to“exist“an¬ry“reference“for“this,‘éHhere“is“the“idea:‘8One“denes“aŽ¡"random-lošSŽoking"–)successor“function“on“the“set“of“p˜oin¬rts“and“stores“only“"at-Ž¡tracting–XðpšSŽoin¬rts"“under“rep˜eated“application“of“this“function.‘ƒ¹Under“certainŽ¡statistical–h÷assumptions“one“expSŽects“to“paš¬ry“for“a“sa˜ving“factor“1Î=‘|†¹in“memoryŽ¡usage–ðÒwith“a“logŽ‘(ι)“time“pšSŽenalt¬ry“factor.‘K^But“it“seems“to“b˜e“v¬rery“dicult“toŽ¡predict–ê¨the“bSŽeha¬rvior“of“the“algorithm“in“practical“cases.Ž¡‘ŸôW‘ÿVe–²¨will“noš¬rw“explain“a“w˜a˜y“to“realize“our“functions“àminimals¹,‘ä¨àminimalŽ¡¹and–ü¤àpart“¹describSŽed“in“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.2ï html:ï color pop“ecienš¬rtly“for“this“case.‘nÔThis“allo˜ws“to“reduce“theŽ¡needed–Ümemory“b¬ry“a“large“factor.‘3þBut“the“computing“time“is“only“increasedŽ¡bš¬ry–ê¨a“small“constan˜t“factor“compared“to“the“basic“orbit“algorithm.Ž¡‘ŸôW‘ÿVe–ê¨consider“a“subgroup“ÎU‘+Œ¹of“ÎK‘ÇF¹with“the“follo¬rwing“propSŽerties:Ž¡(1)– 3ÎU‘A¹is“small“enough“that“wš¬re“can“store“all“elemen˜ts“of“ÎU‘A¹in“our“proSŽcess“forŽ¡computing–ê¨the“orbit“in¬rtersection“matricesŽ¡(2)–Z·there“is“a“ÎU›@ä¹-in•¬rv‘ÿXäarian“t–Z·subspace“ÎV‘÷'¹of“ÎM‘››¹suc¬rh“that“all“ÎU˜¹-orbits“of“theŽ¡quotien¬rt–ê¨space“ÎM‘ ™È=V‘‡¹can“easily“bSŽe“computedŽ¡(3)–ê¨the“a•¬rv“erage–ê¨length“of“the“ÎU›@ä¹-orbits“on“ÎM‘ ™È=V‘‡¹is“"close“to"“ÑjÎU˜ÑjŽ¡‘Ÿô¹In–«practical“examples“it“turned“out“that“it“is“not“dicult“to“nd“suc¬rh“ÎUŽ¡¹and–sÂÎV‘œp¹.‘Ô/The“space“ÎM‘´¦¹viewš¬red“as“a“ÎG¹-moSŽdule“is“t˜ypically“irreducible.‘Ô/SmallŽ¡subgroups–*˜of“ÎK‘6¹as“candidates“for“ÎU‘k|¹can“bSŽe“found“b¬ry“considering“some“sub-Ž¡groups–Êjgenerated“bš¬ry“random“elemen˜ts.‘
Ø&No˜w“ÎM‘N¹considered“as“ÎU‘@ä¹-moSŽduleŽ¡usually–óæhas“a“compšSŽosition“series“consisting“of“man¬ry“small“dimensional“mo˜d-Ž¡ules.‘ This–I can“bSŽe“found“using“the“ßMeatAxe¹,›i\see“[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08949ï html:ï color popŽ‘ßü],˜and“so“w¬re“nd“candidatesŽ¡for‘ê¨ÎV‘œp¹.ŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À7Ž’† ï color popŽŽŒ‹ Lo x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘8Ÿô¹Assume–:that“wš¬re“ha˜v˜e“found“ÎU‘zì¹and“ÎV‘Öx¹as“abSŽo˜v˜e.‘'Let“àprŽ‘p¹:–ÜnÎM‘RÑ!“ÎM‘ ™È=V‘Öx¹bSŽeŽ¤€ ‘' the–¥ypro‘ §jection“map.‘!ÐNote“that“the“action“of“ÎU›æ]¹on“ÎM˜¹and“the“induced“actionŽ¡‘' on–1ìÎM‘ ™È=V‘Î\¹commš¬rute“with“àpr¹.‘W‘ÿVe“en˜umerate“ÎM‘ ™È=V‘Î\¹and“call“Îm–Î Ñ2“ÎM‘rÐÝminimal¹,Ž¡‘' if‘ƒŽàprŽ‘Ý(¹(Îm¹)–ƒŽis“minimal“in“its“ÎU‘@ä¹-orbit“with“respSŽect“to“this“en¬rumeration.‘“(àpr“¹isŽ¡‘' particularly–€easy“to“implemenš¬rt“when“the“basis“of“ÎM‘Àç¹is“c˜hosen“to“con˜tain“aŽ¡‘' basis–ê¨of“ÎV‘œp¹.)Ž¡‘8ŸôIn–} a“precomputation“(short,‘’öbSŽecause“of“(2))“wš¬re“compute“b˜y“a“v‘ÿXäariation“ofŽ¡‘' the–0Øbasic“orbit“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.1ï html:ï color pop“for“eacš¬rh“pSŽoin˜t“of“ÎM‘ ™È=V‘ÍH¹either“an“elemen˜t“of“ÎUŽ¡‘' ¹mapping–rÞit“onš¬rto“the“minimal“elemen˜t“in“its“ÎU‘@ä¹-orbit“or,‘ŠÔif“the“pSŽoin˜t“is“alreadyŽ¡‘' minimal,–ê¨the“elemenš¬rts“of“ÎU‘+Œ¹stabilizing“this“pSŽoin˜t.Ž¡‘8ŸôNo•¬rw›ë w“e˜implemen“t˜àpartŽ‘ž4¹(Îm¹)˜b“y˜computing˜all˜Îmu¹,›ëÎu–UèÑ2“ÎU‘@ä¹,˜and‘ë remo¬rvingŽ¡‘' m•¬rultiple›}ŒpSŽoin“ts.‘ñBecause˜of˜(3)˜this˜tak“es˜not˜m“uc“h˜more˜than˜one˜v“ector-Ž¡‘' matrix–ê¨mš¬rultiplication“pSŽer“elemen˜t“in“àpartŽ‘ܹ(Îm¹).Ž¡‘8ŸôF‘ÿVor‘áàminimalŽ‘/ª¹(Îm¹)–áwš¬re“use“the“precomputation,‘âûfor“àprŽ‘:©¹(Îm¹)“w˜e“ha˜v˜e“stored“aŽ¡‘' Îu–URÑ2“ÎU‘¡ì¹sucš¬rh–athat“Îmu“¹is“minimal.‘ All“àminimalsŽ‘4Çp¹(Îm¹)“are“computed“b˜y“applyingŽ¡‘' all–™
ÎuŸû¥2Ò0Ž‘gF¹from“the“stabilizer“of“àprŽ‘ò§¹(Îmu¹)“to“Îmu“¹and“remoš¬rving“m˜ultiples.‘¬(BecauseŽ¡‘' of–ê¨(3)“this“stabilizer“is“often“trivial.)Ž¡‘8ŸôUsing–vZthese“considerations“wš¬re“can“coun˜t“the“basic“opSŽerations“whic˜h“areŽ¡‘' needed–ê¨in“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop.Ž‘' ïhtml:ï html:©À ‘ú ïcolor push Black‘ßüËProp` osition‘€ 3.1ï color popŽŽ‘`£ÝWe–Ûmassume“that“in“the“situation“ab›ÿffove“the“c˜omputation“ofŽ¡àminimalsŽ‘1fh¹(Îm¹)–jÖÝtakes“in“aver›ÿffage“less“than“¹2“Ýve˜ctor-matrix“multiplic˜ations“andŽ¡that–“ëthe“c›ÿffomputation“of“àpartŽ‘G¹(Îm¹)“Ýtakes“in“aver˜age“less“than“¹2“Ýve˜ctor-matrixŽ¡multiplic–ÿffations›35p“er˜p“oint˜in˜the˜p“art.Ž¡‘Ÿô(a)–ˆ
Then“the“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.3ï html:ï color pop“àOrbitByPartition“Ýne–ÿffe“ds‘ˆ
¹2–.L+“2Îr‘Û˜Ýve‘ÿffctor-matrixŽ¡multiplic›ÿffations–È»and“Îr‘IÝlist“lo˜okups“p˜er“p˜oint“in“the“c˜onsider˜e˜d“orbit“(ne˜gle˜ctingŽ¡the–35c›ÿffomputation“of“al‘ ™™l“minimal“p˜oints“onc˜e“for“e˜ach“p˜art).Ž¡‘Ÿô(b)–U1Then“the“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop“àOrbitIntersectionMatrices“Ýne–ÿffe“ds‘U1¹(2– ½M+“2Îs¹)“+Ž¡(2–¹Ò+“2ÎrSŽ¹)–G®Ýve›ÿffctor-matrix“multiplic˜ations“and“Îs–¹Ò¹+“Îr‘›<Ýlist–G®lo˜okups“p˜er“p˜oint“in“theŽ¡c–ÿffonsider“e“d–€îorbit“(her›ÿffe“we“ne˜gle˜ct“the“c˜al‘ ™™ls“to“àminimals“Ýonc˜e“for“e˜ach“p˜art“andŽ¡the›35b–ÿffo“okke“eping˜eort˜for˜the˜orbit˜interse“ction˜matric“es).Ž¦‘Ÿô¹W‘ÿVe– Ðremark“that“a“similar“idea“also“w¬rorks“in“the“case“of“ÎG“¹acting“on“theŽ¡subspaces–ê¨of“ÎM‘@ä¹,“instead“of“the“v¬rectors.Ž¡‘ŸôIn–lcertain“cases“one“can“think“of“further“impro•¬rv“emen“ts›lb“y˜c“hoSŽosing˜sub-Ž¡groups–¹‡ÎU›úk¹with“additional“nice“propSŽerties.‘(€F‘ÿVor“example,‘Ã[if“ÎM˜¹is“a“semisimpleŽ¡ÎU‘@ä¹-moSŽdule–·öthen“one“can“takš¬re“a“basis“of“ÎM‘øÚ¹suc˜h“that“elemen˜ts“of“ÎU‘øÚ¹ha˜v˜e“aŽ¡(vš¬rery–Y.sparse)“bloSŽc˜k“diagonal“form.‘„r(In“general“one“can“reac˜h“a“bloSŽc˜k“trian-Ž¡gular‘ê¨form.)ŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À8Ž’† ï color popŽŽŒ‹ [| x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ‘' ýÛ€ ïhtml:ï html:Ÿ Ê4Ž‘(ôP‘ÿuÂarallelizationŽŸb#¹W‘ÿVe–œpdo“not“see“an“impro•¬rv“emen“t–œpof“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop“àOrbitIntersectionMatricesŽ¤€ ¹whicš¬rh–ì_reduces“the“computation“time“considerably‘ÿV.‘>But“w˜e“can“reduce“theŽ¡wš¬raiting–ÌVtime“for“the“result“b˜y“distributing“the“computations“in“parallel“amongŽ¡sevš¬reral–ǃcomputer“proSŽcessors.‘ÏpW‘ÿVe“are“mainly“thinking“of“using“net˜w˜orks“ofŽ¡wš¬rorkstations.‘žIn–€âthis“section“w˜e“describSŽe“our“approac˜h“to“a“parallelization“ofŽ¡àOrbitIntersectionMatrices¹.ŽŸÊ«ïhtml:ï html:Ÿ Þ4.1Ž‘$æcP•ŒÌarallel›ffv“ersion˜of˜ó8߆µT ff cmtt12ãOrbitIntersectionMatricesŽŸ@ ¹LoSŽoking–ƒ„at“the“algorithm“wš¬re“see“that“it“is“essen˜tial“to“ha˜v˜e“a“cen˜tral“placeŽ¡where–sWthe“list“ÎL“¹and“the“map“ànr“¹are“managed“(in“form“of“a“hash“table)“toŽ¡a•¬rv“oid›iÐman“y˜computations˜of˜the˜same˜ÎK‘ Üž¹-orbits˜b“y˜sev“eral˜proSŽcesses˜and˜alsoŽ¡to–ê¨guaranš¬rtee“a“unique“n˜um˜bSŽering“of“the“ÎK‘ Üž¹-orbits“found.Ž¡‘ŸôW‘ÿVe–Oüdivide“the“whole“wš¬rork“in˜to“pieces“b˜y“giving“single“runs“through“aŽ¡ÎK‘ Üž¹-orbit–)–as“jobs“to“single“prošSŽcessors.‘õ«In“suc¬rh“a“job“-“corresp˜onding“to“a“runŽ¡through–ÊÕthe“b•SŽo“dy–ÊÕof“the“outer“loSŽop“in“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop“-“one“roš¬rw“of“eac˜h“of“theŽ¡orbit–ê¨in¬rtersection“matrices“is“computed.Ž¡‘ŸôW‘ÿVe›[ïha•¬rv“e˜written˜a˜small˜library˜whic“h˜allo“ws˜comm“unication˜of˜proSŽcessesŽ¡running–Dàon“computers“connected“via“a“net•¬rw“ork–Dà(using“UNIX‘D¶domain“soSŽc•¬rk“ets,Ž¡whicš¬rh–‰vare“a˜v‘ÿXäailable“on“man˜y“computer“opSŽerating“systems).‘zThe“comm˜unica-Ž¡tion–1·is“of“the“t¬rypšSŽe“that“one“pro˜cess“sends“to“another“a“n•¬rum“b˜er–1·indicating“aŽ¡t¬rypšSŽe–Í‘of“a“request“plus“some“data.‘/.The“other“pro˜cess“ma¬ry“do“some“computa-Ž¡tion–}µand“then“sends“bacš¬rk“an“answ˜er“in“form“of“a“bloSŽc˜k“of“data.‘òUsing“thisŽ¡w•¬re›ê¨ha“v“e˜implemen“ted˜three˜dieren“t˜programs˜whic“h˜w“ork˜together.Ž¡‘ŸôFirst–ethere“is“one“prošSŽcess“called“the“ó9F
C–
cmbxti10äjobserver¹:‘”ZIt“can“b˜e“ask¬red“for“aŽ¡job–‡to“do“(a“n•¬rum“bšSŽer–‡Îk‘z¤¹in“algorithm“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop),‘¾or“for“a“n•¬rum“b˜er–‡for“a“newly“foundŽ¡ÎK‘ Üž¹-orbit,‘¸$and–«‚it“collects“the“computed“roš¬rws“of“the“orbit“in˜tersection“matricesŽ¡and–ê¨stores“them“in¬rto“les.Ž¡‘ŸôThen–Îthere“is“one“prošSŽcess“(or“sev¬reral,‘ÓÑsee“b˜elo¬rw)“called“the“ähashserver¹:Ž¡This–CÐone“manages“the“hash“table“for“the“list“ÎL¹.‘ DWIt“can“bSŽe“ask¬red“to“sendŽ¡for–—Öa“givš¬ren“list“of“pSŽoin˜ts“the“correspSŽonding“n˜um˜bSŽers“of“their“ÎK‘ Üž¹-orbits“orŽ¡the–jHinformation“whicš¬rh“pSŽoin˜ts“are“lying“in“a“not“y˜et“kno˜wn“ÎK‘ Üž¹-orbit.‘Also“thisŽ¡prošSŽcess–
zcan“b˜e“ask¬red“to“store“the“information“ab˜out“a“new“ÎK‘ Üž¹-orbit“in“its“hashŽ¡table–Ó¨(it“writes“it“to“a“le,–ØBtoSŽo),“and–Ó¨also“to“send“a“list“of“represen•¬rtativ“es‘Ó¨forŽ¡the–ê¨parts“whicš¬rh“are“con˜tained“in“the“ÎK‘ Üž¹-orbit“with“a“giv˜en“n˜um˜bSŽer.ŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ À9Ž’† ï color popŽŽŒ‹
k x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘8Ÿô¹Finally–ö}there“can“bšSŽe“man¬ry“pro˜cesses“called“ädc‘ÿKclient¹:‘P‰They“ask“the“äjob-Ž¤€ ‘' server–€‰¹for“a“job,‘•Ãget“the“represen•¬rtativ“es–€‰for“the“ÎK‘ Üž¹-orbit“they“ha•¬rv“e–€‰to“handleŽ¡‘' from–ÉRthe“ähashserver¹,‘ ýthen“run“through“the“b•SŽo“dy–ÉRof“the“outer“loSŽop“of“al-Ž¡‘' gorithm–þ?ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop,‘C%send“the“computed“roš¬rws“of“the“orbit“in˜tersection“matrices“toŽ¡‘' the–qÑäjobserver¹,‘“›and“start“from“the“bšSŽeginning.‘Î\When“suc¬rh“a“pro˜cess“has“toŽ¡‘' c•¬rhec“k–cìwhether“a“pSŽoinš¬rt“is“con˜tained“in“ÎL“¹and“w˜an˜ts“to“kno˜w“the“n˜um˜bSŽer“of“itsŽ¡‘' ÎK‘ Üž¹-orbit–Wthen“it“sends“the“pSŽoinš¬rt“to“the“ähashserver“¹to“get“the“answ˜er.‘ÅWhenŽ¡‘' a–new“ÎK‘ Üž¹-orbit“is“computed“it“is“senš¬rt“to“the“ähashserver“¹(whic˜h“ignores“itŽ¡‘' in–âthe“rare“case“that“this“ÎK‘ Üž¹-orbit“wš¬ras“in“the“mean˜while“already“computedŽ¡‘' b¬ry–!¨another“prošSŽcess).‘ÝáActually“a“ädc‘ÿKclient“¹do˜es“not“send“single“p˜oin¬rts“as“re-Ž¡‘' quests–~wto“the“ähashserver“¹but“alw•¬ra“ys–~wcomputes“àminimalŽ‘/¸¹(ÎmgŸÌÌÏiŽ‘dÚ¹)“for“all“Îm“¹inŽ¡‘' a–žxed“part“and“puts“a“collected“request“to“the“ähashserver“¹in¬rto“a“queue.Ž¡‘' Before–Þ™computing“the“next“sucš¬rh“request“it“c˜hec˜ks“for“a˜v‘ÿXäailable“answ˜ers“fromŽ¡‘' the–Oïähashserver¹.‘MThis“w•¬ra“y–Oïthe“clien¬rt“prošSŽcess“do˜es“not“ha•¬rv“e–Oïto“b˜e“idle“in“caseŽ¡‘' of–ê¨a“tempSŽorarily“o•¬rv“erloaded‘ê¨net“w“ork.Ž¡‘8ŸôAs–Ãa“v‘ÿXäarianš¬rt“w˜e“also“allo˜w“ämultiple‘Áhashservers¹:‘uHere“w˜e“use“a“func-Ž¡‘' tion–‰«whicš¬rh“computes“for“a“giv˜en“pSŽoin˜t“the“n˜um˜bSŽer“of“a“ähashserver“¹whic˜h“isŽ¡‘' respšSŽonsible–!to“store“this“p˜oinš¬rt“and“to“answ˜er“requests“abSŽout“it.‘ÛêThis“mak˜esŽ¡‘' the–¾ñpreparation“of“ähashserver“¹requests“bš¬ry“a“ädc‘ÿKclient“¹sligh˜tly“more“com-Ž¡‘' plicated–¢but“it“can“bSŽe“v¬rery“useful“in“certain“situations:‘¨ªF‘ÿVor“example“if“theŽ¡‘' data–ä«for“the“requests“are“computed“so“fast“that“the“net•¬rw“ork–ä«bandwidth“isŽ¡‘' toSŽo– nsmall“and“if“wš¬re“ha˜v˜e“a“switc˜hed“net˜w˜ork“(whic˜h“allo˜ws“sev˜eral“parallelŽ¡‘' connections–éwith“full“bandwidth)“then“ämultiple‘÷êhashservers“¹can“increaseŽ¡‘' the›¡:o•¬rv“erall˜a“v‘ÿXäailable˜net“w“ork˜bandwidth˜for˜the˜requests.‘ fAnd˜this˜is˜similarŽ¡‘' when–4a“ähashserver“¹cannot“handle“all“the“requests“fast“enough.‘‹…AnotherŽ¡‘' pšSŽoin¬rt–£ais“that“the“ähashserver“¹is“usually“the“pro˜cess“whic¬rh“needs“most“of“theŽ¡‘' memory–ÿV.‘&/F“or–²”eciency“it“is“desirable“that“a“ähashserver“¹can“k¬reep“the“list“ÎLŽ¡‘' ¹in–the“phš¬rysical“memory“of“the“computer.‘žŽUsing“ämultiple‘Úhashservers“¹w˜eŽ¡‘' can–ê¨use“the“phš¬rysical“memory“of“sev˜eral“computers“for“this“purpSŽose.Ž¡‘8ŸôConcerning–Åthe“memory“needed“bš¬ry“these“proSŽcesses“the“hash“serv˜ers“needŽ¡‘' to–P,hold“all“minimal“pSŽoinš¬rts“of“ÎmŸÌÌÌ0Ž‘ÀÎG“¹and“a“clien˜t“proSŽcess“needs“to“store“at“mostŽ¡‘' all–\×minimal“elemenš¬rts“of“a“ÎK‘ Üž¹-orbit“and“the“pSŽoin˜ts“in“one“part“of“the“partition.Ž¡‘' The–\2orbit“inš¬rtersection“matrices“can“also“bSŽecome“v˜ery“big“(there“ma˜y“bSŽe“upŽ¡‘' to–Ðx10000“ÎK‘ Üž¹-orbits,‘ ìsaš¬ry).‘êPBut“it“is“nev˜er“necessary“to“store“more“than“oneŽ¡‘' roš¬rw–ôJin“a“clien˜t.‘UÇOnce“a“ro˜w“is“computed“it“can“bSŽe“stored“in“a“le“and“is“notŽ¡‘' needed–:kanš¬ry“more.‘(((W‘ÿVe“only“ha˜v˜e“to“appSŽend“some“zeros“when“w˜e“use“them,Ž¡‘' bšSŽecause–ê¨some“new“ÎK‘ Üž¹-orbits“can“b˜e“found“after“nishing“a“ro¬rw.)Ž¡‘8ŸôThe–rçcomputation“time“for“the“algorithm“scales“almost“linearly“with“theŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ ½ 10Ž’† ï color popŽŽŒ‹ x× x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘' ¹n•¬rum“bSŽer–ÖEof“clienš¬rts“as“long“as“the“bandwidth“of“the“comm˜unication“bSŽet˜w˜een“theŽ¤€ ‘' clienš¬rts–Ï4and“the“hash“serv˜ers“or“the“computing“pSŽo˜w˜er“of“the“hash“serv˜ers“do“notŽ¡‘' reacš¬rh–ø°their“limit.‘b÷And“the“amoun˜ts“of“data“whic˜h“ha˜v˜e“to“bSŽe“transfered“canŽ¡‘' bSŽe–a¯estimated“vš¬rery“w˜ell“from“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08943.1ï html:ï color pop.‘ôIf“net˜w˜ork“bandwidth“bSŽecomes“a“problemŽ¡‘' one–õÑcan“at“least“spšSŽeed“up“linearly“the“second“phase“of“the“algorithm“describ˜edŽ¡‘' after–Aïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop:‘tW‘ÿVe“in¬rterrupt“the“computation“after“nding“all“ÎK‘ Üž¹-orbits“and“startŽ¡‘' it–Þagain“in“the“form“of“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.6ï html:ï color pop“with“sevš¬reral“hash“serv˜ers“who“all“use“the“sameŽ¡‘' already–ê¨computed“data.Ž‘' Ÿÿïhtml:ï html:Ÿª¬Þ4.2Ž‘$æcCommenšŒÌts–ffon“the“implemen˜tationŽŸ@ ¹Our–Èimplemenš¬rtation“of“the“parallel“v˜ersion“of“àOrbitIntersectionMatricesŽ¡¹is–I-written“as“far“as“pSŽossible“in“a“generic“w•¬ra“y–I-(the“programming“language“isŽ¡C),–g
where“wš¬re“assume“almost“nothing“abSŽout“ho˜w“the“pSŽoin˜ts“of“ÎM‘@ä¹,‘†'elemen˜tsŽ¡of–P\ÎG“¹and“the“action“are“giv¬ren.‘iûT‘ÿVo“get“a“program“for“a“spSŽecial“case“one“hasŽ¡to–êïwrite“a“le“conš¬rtaining“functions“for“initializing“the“clien˜ts,‘+opSŽeration“ofŽ¡group–mˆelemenš¬rts“on“pSŽoin˜ts,›Ž@the“functions“àpart¹,˜àminimal“¹and“àminimals¹,˜andŽ¡hash–!Öfunctions“for“the“pšSŽoin¬rts.‘ÞjThis“can“then“b˜e“link¬red“easily“with“the“mainŽ¡part–ê¨of“the“program.Ž¡‘ŸôThe–ÁÄpart“for“the“clien•¬rt-serv“er›ÁÄcomm“unication˜is˜a˜separate˜small˜pac“k‘ÿXäageŽ¡whicš¬rh–Šcan“bSŽe“used“for“other“programs“as“w˜ell.‘DIt“suppšSŽorts“simple“blo˜c¬rkingŽ¡requests,–ò}i.e.,“where–ðìa“proSŽcess“wš¬raits“for“an“answ˜er,‘ò}as“w˜ell“as“queues“of“non-Ž¡bloSŽc¬rking‘ê¨requests.Ž¡‘ŸôAn– ´adv‘ÿXäanš¬rtage“of“our“comm˜unication“approac˜h“seems“to“bSŽe“robustness:Ž¡The–Hcrash“of“anš¬ry“single“proSŽcess“in˜v˜olv˜ed“in“a“computation“doSŽes“not“w˜aste“theŽ¡computing–·ºtime“spSŽenš¬rt“so“far.‘ Clien˜t“prošSŽcesses“can“b˜e“terminated“and“newŽ¡ones–§œstarted“up“at“an¬ry“time.‘"‡Of“course“the“whole“computation“crashes“whenŽ¡one–³0of“the“servš¬rer“proSŽcesses“is“terminated“for“some“reason.‘&cBut“w˜e“are“sa˜vingŽ¡the–ª.results“whicš¬rh“are“already“obtained“in˜to“les“and“this“mak˜es“it“pSŽossibleŽ¡to–U†restart“the“computation“almost“at“the“pSŽoinš¬rt“where“it“w˜as“stoppSŽed.‘yzThisŽ¡feature–ä«is“vš¬rery“impSŽortan˜t“for“the“use“of“suc˜h“programs“on“net˜w˜orks“whereŽ¡anš¬ry–¥single“mac˜hine“can“bSŽe“do˜wn“at“an˜y“time“for“v‘ÿXäarious“reasons.‘ýØThe“lac˜kŽ¡of–
this“feature“wš¬ras“also“the“reason“that“w˜e“did“not“use“a“(in“certain“aspSŽectsŽ¡m•¬ruc“h–ê¨more“sophisticated)“commš¬runication“protoSŽcol“lik˜e“MPI,“see“[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08948ï html:ï color popŽ‘ßü].Ž¡‘ŸôThe–šinitial“revision“of“our“pacš¬rk‘ÿXäage“con˜tains“t˜w˜o“v˜ersions“of“the“programs.Ž¡One–Žýwith“pSŽermš¬rutations“as“group“elemen˜ts“for“doing“the“computation“de-Ž¡scribSŽed–…ùin“ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08945.3ï html:ï color pop“and“another“more“general“one“for“matrices“acting“on“v¬rectorsŽ¡o•¬rv“er–Á‰a“nite“eld.‘++In“the“latter“w¬re“use“some“basic“functions“from“M.“Ringe'sŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ ½ 11Ž’† ï color popŽŽŒ‹ ˆ< x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘' ßMeatAxe–Jþ¹pacš¬rk‘ÿXäage,‘csee“[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08949ï html:ï color popŽ‘ßü].‘YâSince“w˜e“w˜an˜t“to“use“this“program“for“v˜ery“largeŽ¤€ ‘' examples–
Iwš¬re“ha˜v˜e“put“some“eort“in“optimizing“the“v˜ector-matrix“arithmetic,Ž¡‘' e.g.,‘îbš¬ry–º“precomputing“certain“linear“com˜binations“of“ro˜ws“of“the“opSŽeratingŽ¡‘' matrices–¥(R.“P•¬rark“er–¥calls“this“"greasing")“and“bš¬ry“using“partial“ro˜w“opSŽerationsŽ¡‘' for–ê¨sparse“ro¬rws.Ž¡‘8ŸôOur›ê¨soft•¬rw“are˜is˜freely˜a“v‘ÿXäailable˜under˜GPL˜[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08944ï html:ï color popŽ–ßü],˜see˜[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08946ï html:ï color popŽ“].Ž‘' ŸVïhtml:ï html:Ÿ Ê5Ž‘(ôDirect‘zácondensationŽŸb#¹Let–òÎA“¹bSŽe“a“nite“dimensional“algebra“o•¬rv“er–òa“eld“ÎF‘“Ô¹and“let“Îe–aê¹=“Îe–¯²Ñ“Îe–aêÑ2“ÎA‘ò¹anŽ¡idempšSŽoten¬rt.‘ÈlThe–Å,idea“of“Ýc‘ÿffondensation“¹is“to“get“information“on“ÎA¹-mo˜dulesŽ¡ÑM–\ä¹b¬ry“studying“the“ÎeAe¹-mošSŽdules“ÑMÎe¹.‘ ŸIn“particular“this“is“an“imp˜ortan¬rt“to˜olŽ¡in–ücomputational“represen¬rtation“theory‘ÿV.‘m9The“latter“mošSŽdules“can“b˜e“of“m•¬ruc“hŽ¡smaller–š-dimension“but“still“encoSŽde“in¬rteresting“information“on“the“structureŽ¡of–xÑM¹,‘Jìsince“the“map“ÑM–4ÿ7!“MÎe–x¹is“an“exact“functor“from“the“category“ofŽ¡ÎA¹-mošSŽdules–ê¨to“the“category“of“ÎeAe¹-mo˜dules.Ž¡‘ŸôF‘ÿVor–¾more“details“wš¬re“refer“to“[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08941ï html:ï color popŽ‘ßü]“and“the“references“giv˜en“there.‘Ì#The“rstŽ¡reference–v‘describing“the“use“of“this“methošSŽd“in“mo˜dular“represen¬rtation“theoryŽ¡is–ê¨J.“Thac•¬rkra“y's–ê¨thesis“[ïhtml:ï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.089410ï html:ï color popŽ‘¿ø].ŽŸÊ«ïhtml:ï html:Ÿ Þ5.1Ž‘$æcInŒÌterpretation–ffof“the“ãOrbitIntersectionMatricesŽŸ@ ¹W‘ÿVe›'Îw•¬ran“t˜to˜consider˜the˜spSŽecial˜case˜when˜ÎA–½g¹=“ÎF‘¡ÆG˜¹is˜the˜group˜algebra˜ofŽ¡a–Ànite“group“ÎG“¹o•¬rv“er–Àthe“eld“ÎF›¡Æ¹,‘Îe“¹is“the“idempSŽoten¬rt“1Î=ÑjÎK‘ ÜžÑj–Á0“Ÿöÿûó)ú±u
cmex10ÔPŽ‘kÝŸ€Ïk6…Ò2ÏKŽ‘#õßÎk‘ôÄÑ2‘§ÎF˜GŽ¡¹correspSŽonding–4èto“the“subgroup“ÎK‘†¹of“ÎG“¹whose“order“is“not“a“m¬rultiple“of“theŽ¡cš¬rharacteristic–Hof“ÎF‘¡Æ¹,‘_]and“ÑM“¹is“a“pSŽerm˜utation“moSŽdule“of“ÎF‘¡ÆG¹.‘Pù(If“Îe“¹is“of“thisŽ¡form–ê¨then“ÎK‘ÇF¹is“called“the“Ýc–ÿffondensation‘35sub“gr“oup¹).Ž¡‘ŸôNo•¬rw›Ëw“e˜assume˜that˜ÎG˜¹and˜ÎM‘`¯¹are˜nite.‘ØIA‘½pSŽerm“utation˜represen“tationŽ¡ÎG–ÄŽÑ!“¹SymŽ‘IÔ(ÎM‘@ä¹)–,of“ÎG“¹describšSŽes“a“p˜erm¬rutation“mo˜dule“ÑM“¹of“ÎF‘¡ÆG¹.‘üîA‘+ñbasis“forŽ¡this–‰moSŽdule“is“parameterized“bš¬ry“the“elemen˜ts“of“ÎM‘@ä¹.‘ƒ„Let“Îx–«¹=“ŸöÿûÔPŽ‘*XŸ€ÏmÒ2ÏMŽ‘(ݺÎaŸÌÌÏmŽ‘ÄÎm“Ñ2Ž¡M–íe¹and“ÎO›@ó¹bSŽe“a“ÎK‘ Üž¹-orbit“of“ÎM‘@ä¹.‘AThen“for“all“Îm–YüÑ2“ÎO˜¹the–íecoSŽecien¬rt“of“Îm“¹in“ÎxeŽ¡¹is›ùß1Î=ÑjÎOSŽÑj–µ“ŸöÿûÔPŽ‘_±Ÿ€ÏmŸý¸äó(q¡% cmsy6Ó0Ž‘±ÇÒ2ÏOŽ‘(ppÎaŸÌÌÏmŸý¸äÓ0ŽŽ‘
¶‹¹.‘f…This˜sho¬rws˜that˜the˜orbit˜sums˜ÎŸÌÌÏOŽ‘
ž¾¹:=‘o8ŸöÿûÔPŽ‘埀ÏmÒ2ÏOŽ‘&xÝÎm˜¹for˜allŽ¡ÎK‘ Üž¹-orbits–¬3in“ÎM‘í¹are“a“basis“of“ÑMÎe¹.‘}‚F‘ÿVurthermore“wš¬re“see“ho˜w“for“Îg‘ûÑ2‘žÂÎG“¹theŽ¡elemenš¬rt–ûaÎegn9e“¹is“acting“on“this“basis:‘ZRfor“another“ÎK‘ Üž¹-orbit“ÎOSŽŸû¥2Ò0Ž‘(¹the“coSŽecien˜t“ofŽ¡ÎŸÌÌÏOï#color push rgb 0.6179 0.0236 0.08942.5ï html:ï color pop“àOrbitIntersectionMatrices“¹computes“exactlyŽŽŸ ‘' ïcolor push Black’ ½ 12Ž’† ï color popŽŽŒ‹
—4 x€ ý¤€ ‘' ïcolor push Blackïhtml:ïcolor push gray 0ï color popï html:Ž’† ï color popŽŽ =€ ýç€ ‘' ¹the›6n•¬rum“bSŽers˜ÎaŸÌÌÏO•