Kommutative Algebra
4+2 SWS
Zielgruppe: Mathe-Studierende ab 4. Semester.
Voraussetzung: Vorlesung Computeralgebra.
Inhaltsverzeichnis
Thema der Vorlesung
Zentrales Objekt der Kommutativen Algebra sind Moduln.
Bekanntlich sind Moduln eine natürliche Verallgemeinerung von
Vektorräumen:
der wesentliche Unterschied ist, dass die Skalare nicht aus
einem Körper,
sondern aus einem (meist kommutativen, daher der Titel)
Ring stammen.
Scheinbar kleine Ursache, große Wirkung:
im Gegensatz zum Vektorraum besitzt ein Modul für gewöhnlich keine
Basis,
und wir verlieren den in der Linearen Algebra so praktischen
Begriff der Dimension.
Andererseits haben Ringe eine viel reichhaltigere Struktur als
Körper, und so können
bei Moduln auch bedeutend interessantere
Phänomene auftreten als bei Vektorräumen.
Einige davon
werden wir uns in dieser Vorlesung genauer ansehen.
Anwendungen findet die Kommutative Algebra hauptsächlich in
der Algebraischen Geometrie, Kodierungstheorie und Kombinatorik,
sowie beim Studium linearer Differentialgleichungssysteme, aber auch
in scheinbar weit entfernt liegenden mathematischen Disziplinen
wie Approximationstheorie, Optimierung und Statistik.
Literatur
- M. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to
Commutative Algebra, Perseus Books 1999
-
D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic
Geometry, Springer 1995
- G.-M. Greuel, G. Pfister, A Singular Introduction to
Commutative Algebra, Springer 2007
- J. P. Jans, Rings and Homology, Holt, Rinehart and Winston, 1964
- E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry,
Birkhäuser 1985
- T. Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer 1998
- D. G. Northcott, Finite Free Resolutions,
Cambridge University Press 2004
- J. J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, 1979
- R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra,
Cambridge University Press 2000