Spitz und stumpf: tangentiale Funktionsgraphen

U. Schoenwaelder (3.3.00) nach einer Idee von M. Gebhardt (26.2.00)

Problem. Wir untersuchen reelle Funktionen, die an einer festen Stelle x_{0} denselben Funktionswert y_{0} haben. Wann berühren sich die Funktionsgraphen? Wie stark berühren sie sich? [Vorbereitung des Ableitungsbegriffes.]

Ideen. 1. Wir können x_{0} = 0 annehmen. [Wir beherrschen das horizontale Verschieben von Funktionsgraphen theoretisch und rechnerisch via DERIVE.]

2. Wir können y_{0} = 0 annehmen. [Wir beherrschen das vertikale Verschieben von Funktionsgraphen.]

3. Wenn sich die Funktionen f und g im Nullpunkt ”berühren“, ist die Differenzfunktion d := f − g ”sehr klein“. Sie ”berührt“ die x–Achse [Beispiele mit DERIVE]: sie läuft ”spitz“ in den Nullpunkt.

4. Wir beschränken den Definitionsbereich auf nichtnegative x.

Plan. Untersuche die Potenzfunktionen p_{i} = (x ↦ x^{i}), i = 0, 1, 2, ... und i = 1/2, 1/3, ..., i = −1, −2, ... in einer Umgebung (”in der Nähe von“) 0 auf Spitzheit. Miteinander vergleichen!

Durchführung. Beginne mit p_{0}, p_{1}, p_{2}. Die Funktion p_{0} hat p_{0}(0) = 1 ≠ 0, fällt raus. Die Skizze (DERIVE) für p_{1} und p_{2} zeigt: für 1 ≤ x ist p_{1}(x) ≤ p_{2}(x), aber ”bei x = 0“ (für 0 ≤ x ≤ 1) ist p_{2}(x) ≤ p_{1}(x). Gilt so etwas auch für die Funktionen A · p_{1} (0 ≤ A ∈ R) im Vergleich mit p_{2}? Ja: zu jedem noch so kleinen A > 0 gibt es eine Umgebung von x = 0, in der p_{2}(x) ≤ Ap_{1}(x) gilt. ALSO ist p_{2} in der Nähe von x = 0 kleiner (wir sagen spitzer) als jede der Funktionen Ap_{1}. Gilt dies auch für die Funktionen Bp_{2} mit noch so großem B > 0? Ja: Bx^{2} ≤ Ax für alle 0 ≤ x ≤ A/B. Jede der Funktionen Bp_{2} ist spitzer als jede der Funktionen Ap_{1}. DEFINITION. Wir sagen: eine Funktion d ist (bei x = 0) spitz vom Typ p (p eine Funktion), wenn es ein 0 < C ∈ R und eine Umgebung von x = 0 gibt, in der |d(x)| ≤ C · |p(x)| gilt [d(x) = O(p(x)), besser d ∈ O(p), mit dem Landauschen Symbol [2, S. 114]].

Beispiel. f(x) = 2x + 3x^{2} + x^{3} [= x(x + 1)(x + 2)] wird mit g_{0}(x) = 3x, mit g_{1}(x) = 2x und mit g_{2}(x) = 2x + 3x^{2} verglichen. Die Differenzfunktionen sind d_{i} = f − g_{i} = .. spitz vom Typ ... Aber d_{0} ist nicht spitz vom Typ p_{2}, und d_{1} ist nicht spitz vom Typ p_{3}.

Wir sagen: f und g berühren sich bei x = 0 von der Ordnung i (i = 1, 2, ..), wenn f − g spitz vom Typ p_{i} ist. Für i ≥ 2 berühren sie sich im anschaulichen Sinne. Nach obiger Diskussion ist die Berührung desto inniger, je größer i ist. [Schnittmultiplizität algebraischer Kurven [1].]

Ergänzungen. Wer ist spitzer, p_{1} oder p_{1/2}? Wie stumpf ist p_{−1}?

Problem. Bestimme alle Polynomfunktionen, die eine gegebene Funktion f bei x = 0 von vorgebener Ordnung i berühren! Zunächst sei f eine Polynomfunktion.

Durchführung. i = 1: g berührt f von der Ordnung 1 genau dann, wenn g(0) = f(0) ist. (Beweis selbst.) i = 2: g berührt f sogar von der Ordnung 2 genau dann, wenn |f(x) − g(x)| ≤ C |x^{2}| erzielt wird. In diesem Fall: (f − g)(x) = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + .. + c_{r}x^{r} hat c_{0} = c_{1} = 0 – und umgekehrt. f und g stimmen also im absoluten und linearen Teil überein. DEFINITION. Für f(x) = f_{0} + f_{1}x + .. + f_{n}x^{n} heißt t(x) = f_{0} + f_{1}x die Tangentenfunktion an f bei x = 0.

Berechnung der Tangentenfunktion einer Polynomfunktion an beliegiger (fester) Stelle x. Betrachte f in einer Umgebung von x, also bei x + h für kleine h. Die neue Variable h macht aus f eine horizontal verschobene Funktion F (h) = f(x + h), die bei h = 0 – wie oben – zu studieren ist. Für eine Polynomfunktion f berechnet DERIVE die Funktion F in der Form

F (h) = F_{0} + F_{1}h + F_{2}h^{2} + .. + F_{n}h^{n},

wobei mit x symbolisch gerechnet wird. Die Koeffizienten F_{0} = F (0), F_{1}, ... sind Polynome in x, deren Koeffizienten sich aus den Koeffizienten f_{0}, f_{1}, ... des Polynoms f ergeben; auch diese f_{i} können als DERIVE-Variable behandelt werden. Das Beispiel n = 3, also f(x) = f_{0} + f_{1}x + f_{2}x^{2} + f_{3}x^{3}, ergibt (auch per Hand)

F (h) = f(x + h) = f(x) + (f_{1} + 2f_{2}x + 3f_{3}x^{2})h + (f_{2} + 3f_{3}x)h^{2} + f_{3}h^{3}.

Die Tangentenfunktion für f zur Stelle x lautet (also) als Funktion von h

t(x, h) = f(x) + (f_{1} + 2f_{2}x + 3f_{3}x^{2})h.

Die Steigung der Tangente zur Stelle x ist

f_{1} + 2f_{2}x + 3f_{3}x^{2} =: F_{1}(x).

Der nächste Term F_{2}(x) = f_{2} + 3f_{3}x sollte genauso interessant sein, da

t_{2}(x, h) = f(x) + F_{1}(x)h + F_{2}(x)h^{2}

die Funktion f an der Stelle x von der Ordnung 3 berührt. Die Funktion t_{2} (als Funktion von h) heißt das TAYLOR-Polynom vom Grad 2 zu f an der Stelle x. Bei festem x ist die Differenz r(x, h) in f(x+h) = t_{2}(x, h)+r(x, h) bei h = 0 spitz von der Ordnung 3.

Neues Problem. Wie hängen die Funktionen F_{i} (in x) miteinander und mit f′(x) : = F_{1}(x) zusammen? Man ”erkennt“ (Experimente)

F_{1}(x) = f′(x),

F_{2}(x) = \frac{1}{2}F′_{1}(x) = \frac{1}{2}f′′(x),

F_{3}(x) = \frac{1}{3}F′_{2}(x) = \frac{1}{6}f′′′(x), usw.

Verallgemeinerung. Wie definiert man das (?) TAYLOR-Polynom für eine Funktion, die keine Polynomfunktion ist? Wenn es gelingt, die 1. Ableitung f′(x) allgemein zu definieren (und zu berechnen), so kann man die vorstehenden Formeln als Definition für F_{i}(x) lesen (falls die Funktion f hinreichend oft differenzierbar ist) und dann

t_{k}(x, h) = f(x) + F_{1}(x)h + .. + F_{k}(x)h^{k}

als Funktion von h das TAYLOR-Polynom vom Grad k für f zur Stelle x nennen. Es bleibt dann zu untersuchen, unter welchen hinreichenden Voraussetzungen an f sich f(x + h) und t_{k}(x, h) bei h = 0 von der Ordnung k + 1 berühren.

Einführung der 1. Ableitung. DEFINITION. Für eine reelle Funktion f heißt die Zahl F (x) eine (?) 1. Ableitung von f zur Stelle x, wenn sich f(x + h) und f(x) + F (x)h als Funktionen von h bei h = 0 von der Ordnung 2 berühren. EINDEUTIGKEIT. Aus

|f(x + h) − f(x) − F (x)h| ≤ A |h|^{2} und
|f(x + h) − f(x) − G(x)h| ≤ B |h|^{2}

in einer Umgebung von h = 0 folgt mit

|F (x) − G(x)| · |h| ≤ (A + B) |h|^{2} ,

daß F (x) = G(x) ist. - Eindeutigkeit der TAYLOR-Polynome: selbst. EXISTENZ. Sie ist für jeden Funktionstyp getrennt unter Benutzung der vorstehenden Definition zu prüfen und gegebenenfalls die 1. Ableitung zu ermitteln.

Warnung. Unsere Definition ist schärfer als die übliche (kommt aber ohne Grenzwerte aus): bei uns ist die Zahl F (x) die Ableitung von f an der Stelle x, wenn

f(x + h) = f(x) + F (x)h + O(h^{2})

für h → 0 gilt; sonst fordert man nur

f(x + h) = f(x) + F (x)h + o(h)

für h → 0. Hier bezeichnet [2, S. 114] o(h) eine Funktion d(h), für die es zu jedem ε > 0 eine Umgebung von h = 0 gibt, in der |d(h)| ≤ ε · h gilt (d(h)/h → 0 für h → 0). Man zeigt schnell, daß O(h^{2})-Funktionen erst recht o(h)-Funktionen sind und daß die Umkehrung nicht gilt (etwa d(h) = h |h|^{1/2}).

Bemerkung. Im obigen Text habe ich meist zwischen Funktion f und Funktionswert f(x) unterschieden; ich bevorzuge die Schreibweise

f = (x ↦ f(x) für x ∈ D): D ⟶ W.

DERIVE legt jedoch die Sprechweise

”die Funktion f(x)“

nahe. Soll man Programmeigenheiten in die mathematische Sprache übernehmen??

Referenzen

1. G. Fischer, Ebene algebraische Kurven, Vieweg, Aufbaukurs Mathematik 67, 1994. HB: Bb1957.

2. H. Werner, Praktische Mathematik I, Methoden der linearen Algebra, Springer–Verlag, Hochschultext, ^{3}1982. HB: Bb1233-1+3 LB, Bü1372¬Aufsicht LS.