Die Kollineationsgruppe und die affine Gruppe

Sebastian Thomas

11.01.2005

Definition 1. Es sei (P, G, ∥, i) ein affiner Raum im Sinne der synthetischen affinen Geometrie. Eine Kollineation κ: P → P heißt affin, falls es eine Folge (π_{1}, …, π_{n}) von Parallelprojektionen zwischen den Geraden des Raumes gibt, so dass

(ABC)π_{1} … π_{n} = (AκBκCκ) für alle A, B, C ∈ P mit C i AB.

Wir schreiben dann GTV(A, B, C) = GTV(Aκ, Bκ, Cκ) und sagen, dass das geometrische Teilverhältnis unter κ erhalten bleibt.

Unser Ziel ist es nun, die Gruppe Aff(P) aller affinen Abbildungen eines affinen Raumes P zu studieren. Hierzu gehen wir zunächst etwas allgemeiner vor und studieren die Gruppen Bikoll(P, P′) aller Bikollineationen zwischen zwei beliebigen affinen Räumen P und P′. Wir machen uns das Leben leicht und wechseln in die analytische Geometrie. Es seien also im Folgenden (P, V, ∗) und (P′, V′, ∗′) affine Räume im Sinne der analytischen Geometrie; hierbei seien V und V′ Vektorräume von Dimension n ≥ 2 über einem beliebigen Schiefkörper K. Ferner sei eine beliebige bikollineare Abbildung π ∈ Bikoll(P, P′) gegeben. Um unsere Betrachtungen über den zu P und P′ gehörigen Vektorräumen führen zu können, wählen wir zwei Ursprünge U ∈ P und U′ ∈ P′ und betrachten die Bijektion ν_{U} : P → V, welche jedem Punkt P ∈ P den beschreibenden Vektor v ∈ V mit P = U ∗ v zuordnet. Analog sei ν_{U′} : P′ → V′ definiert. Statt π können wir nun die zugehörige verpflanzte Abbildung π′ := ν_{U}^{−1}πν_{U′} : V → V′ betrachten.

Schritt 1. Es sei τ: V′ → V′ die Translation mit U′τ = Uπ. Dann folgt U′ = Uπτ^{−1}, das heißt κ := πτ^{−1} ∈ Bikoll(P, P′) bildet den gewählten Ursprung U ∈ P auf den anderen gewählten Ursprung U′ ∈ P′ ab. Mit

Bikoll(P, P′)_{U↦U′} := {κ ∈ Bikoll(P, P′) | Uκ = U′}

folgt

Bikoll(P, P′) = Bikoll(P, P′)_{U↦U′} · T(P′),

wobei T(P′) die Gruppe aller Translationen auf P′ sei.

Schritt 2. Wir beschränken uns im Folgenden darauf, die Abbildung κ ∈ Bikoll(P, P′)_{U↦U′} bzw. deren zugehörige verpflanzte Abbildung κ′ := ν_{U}^{−1}κν_{U′} : V → V′ zu studieren. Offensichtlich gilt 0κ′ = 0. Nun gilt diese Bedingung für alle linearen Abbildungen, wir versuchen deshalb im Folgenden zu zeigen, dass κ′ linear ist. Zunächst zur Additivität: Hierzu seien beliebige Vektoren v, w ∈ V gegeben. Wir nehmen als erstes an, dass (v, w) linear unabhängig ist. Es sei P := U′ ∗ v und Q := U′ ∗ w. Da unter κ Geraden auf Geraden gehen und parallele Geraden auf parallele Geraden, gibt es einen vierten Parallelogrammpunkt R zu den drei Punkten U′, P und Q. Dies bedeutet aber gerade (v + w)κ′ = vκ′ + wκ′. Als nächstes sei hingegen (v, w) linear abhängig, das heißt es gibt ein λ ∈ K \ {0} mit w = λv. Da n ≥ 2 ist, können wir ein u ∈ V wählen, so dass (v, u) linear unabhängig ist. Es folgt v + w = (v + u) + (−u + w), das heißt (v + u, −u + w) sind genau dann unabhängig, falls λ ≠ −1 ist. In diesem Fall ergibt sich

(v + w)κ′ = ((v + u) + (−u + w))κ′ = (v + u)κ′ + (−u + w)κ′ = (vκ′ + uκ′) + ((−u)κ′ + wκ′).

Wir zeigen nun (−v)κ′ = −(vκ′), dies beweist den obigen Fall sowie den Fall λ = −1. Hierzu sei ein u ∈ V gegeben, so dass (v, u) linear unabhängig wirkt. Dann folgt

uκ′ = ((−v) + (v + u))κ′ = (−v)κ′ + (v + u)κ′ = (−v)κ′ + vκ′ + uκ′ bzw. (−v)κ′ = −(vκ′).

Schritt 3. Als nächstes wollen wir zeigen, dass κ′ linear ist, das heißt (λv)κ′ = λ(vκ′) für alle λ ∈ K und alle v ∈ V. Da κ eine Bikollineation ist, werden Geraden auf Geraden abgebildet, es gilt also

(λv)κ′ = μκ′ für ein μ ∈ K.

Dies definiert eine Abbildung μ := ((v, λ) ↦ μ_{v,λ}): V × K → K, welche wir im Folgenden studieren wollen.

Schritt 4. Für alle v, w ∈ V \ {0} gilt

\begin{aligned}μ_{v+w,λ}(vκ′) + μ_{v+w,λ}(wκ′) & = μ_{v+w,λ}(vκ′ + wκ′) = μ_{v+w,λ}((v + w)κ′) = (λ(v + w))κ′ = (λv + λw)κ′ \\ & = (λv)κ′ + (λw)κ′ = μ_{v,λ}(vκ′) + μ_{w,λ}(wκ′). \end{aligned}

Ist (v, w) linear unabhängig, so auch (vκ′, wκ′), denn κ ist eine Bikollineation. Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir μ_{v,λ} = μ_{v+w,λ} = μ_{w,λ}. Ist hingegen (v, w) linear abhängig, so können wir ein u ∈ V wählen, so dass (v, u) bzw. (w, u) linear unabhängig wird und es folgt auch in diesem Fall μ_{v,λ} = μ_{u,λ} = μ_{w,λ}. Es gilt also

μ_{v,λ} = μ_{w,λ} für alle v, w ∈ V,

das heißt μ_{v,λ} ist unabhängig von v ∈ V. Im Folgenden betrachten wir somit die Abbildung m := (λ ↦ μ_{v,λ}): K → K für ein beliebiges v ∈ V \ {0}.

Schritt 5. Um zu zeigen, dass κ′ linear ist, müssen wir nachweisen, dass m = id ist. Hierzu zeigen wir zunächst, dass m ∈ Aut(K) ist: Für beliebige λ, μ, v ∈ V \ {0} gilt

(λ + μ)^{m}(vκ′) = ((λ + μ)v)κ′ = (λv + μv)κ′ = (λv)κ′ + (μv)κ′ = λ^{m}(vκ′) + μ^{m}(vκ′) = (λ^{m} + μ^{m})(vκ′)

und

(λμ)^{m}(vκ′) = ((λμ)v)κ′ = (λ(μv))κ′ = λ^{m}((μv)κ′) = λ^{m}(μ^{m}(vκ′)) = (λ^{m}μ^{m})(vκ′),

also

(λ + μ)^{m} = λ^{m} + μ^{m} und (λμ)^{m} = λ^{m}μ^{m}.

Also ist m ∈ Aut(K) und damit κ′ zumindest eine semilineare Abbildung.

Definition 2. Es seien K ein Schiefkörper und V, V′ Vektorräume über K. Eine Abbildung φ : V → V′ heißt semilinear, wenn es einen Automorphismus α ∈ Aut(K) gibt mit

(v + w)φ = vφ + wφ und (λv)φ = λ^{α}(vφ) für alle v, w ∈ V, λ ∈ K.

Bemerkung 1. Ist φ eine α-semilineare und ψ eine β-semilineare Abbildung, so ist φψ eine αβ-semilineare Abbildung; ist weiter φ bijektiv, so ist φ^{−1} eine α^{−1}-semilineare Abbildung. Die semilinearen Abbildungen von V bilden eine Gruppe ΓL(V), welche eine Obergruppe von GL(V) ist.

Bemerkung 2. Eine α-lineare Abbildung φ ist durch ihre Wirkung auf einer Basis von V festgelegt.

Beweis. Es sei B eine beliebige Basis von V. Dann gibt es für alle v ∈ V eine eindeutige Darstellung v = ∑_{b∈B} λ_{b}b und es gilt

vφ = (∑_{b∈B} λ_{b}b)φ = ∑_{b∈B}(λ_{b}b)φ = ∑_{b∈B} λ_{b}^{α}(bφ).

Beispiel 1. Es sei K = ℚ(\sqrt{2}) und V = K^{1×2} der 2-dimensionale Zeilenraum über K. Es ist | Aut(K)| = [K : ℚ] = 2, das heißt, es gibt einen nichttrivialen Automorphismus α von K. Dieser ist gegeben durch (\sqrt{2})^{α} = −\sqrt{2}. Offensichtlich ist die Abbildung κ′: V → V mit (1, 0)κ′ = (1, 0) und (0, 1)κ′ = (0, 1) eine semilineare Abbildung (die nicht linear ist), welche eine Bikollineation κ auf dem zugehörigen affinen Raum P bewirkt.

Somit war unsere Vermutung, dass alle Bikollineationen als verpflanzte Abbildungen Vektorraumisomorphismen haben, falsch. Insbesondere gilt für einen affinen Raum P:

Koll(P) = Koll(P)_{U↦U′} · T(P) mit Koll(P)_{U↦U′} ≅ ΓL(V).

Bemerkung 3. Es gilt sogar

Koll(P) ≅ ΓL(V) ⋉ T(P).

Bemerkung 4. Es gilt

ΓL(V) ≅ GL(V) ⋊ ΓL(V)_{B↦B} mit ΓL(V)_{B↦B} = {φ_{B↦B,α} | α ∈ Aut(K)} ≅ Aut(K),

wobei φ_{B↦B,α} die α-semilineare Abbildung mit φ_{B↦B,α}|_{B} = id_{B} ist.

Definition 3. Wir definieren das algebraische Teilverhältnis zwischen drei kollinearen Punkten A, B, C eines affinen Raumes P: Es ist ATV(A, B, C) = λ, wenn w = λv mit B = A ∗ v und C = A ∗ w.

Als Anwendung des Strahlensatzes (und dessen Umkehrung) ergibt sich die folgende Charakterisierung:

Satz 1. Es seien A, B, C ∈ P drei kollineare Punkte eines affinen Raumes P und κ ∈ Koll(P). Dann ist

GTV(A, B, C) = GTV(Aκ, Bκ, Cκ)

genau dann, wenn

ATV(A, B, C) = ATV(Aκ, Bκ, Cκ).

Wir erhalten als direkte Folgerung:

Satz 2. Für jeden affinen Raum (P, V, ∗) gilt

Aff(P) ≅ GL(V) · T(V).

Beweis. Es sei π ∈ Aff(P) eine beliebige affine Abbildung. Dann gehört zu π eine eindeutig bestimmte αsemilineare Abbildung κ′ ∈ ΓL(V) für ein α ∈ Aut(K), das heißt es ist (λv)κ′ = λ^{α}(vκ′) für alle v ∈ V, λ ∈ K. Da aber π das algebraische Teilverhältnis erhält, folgt α = id.

Für die Schule ist die Unterscheidung zwischen Aff(P) und Koll(P) sowieso hinfällig, denn aus der Algebra wissen wir, dass Aut(ℝ) = 1 ist. Somit ist jede Kollineation über einen reellen affinen Raum eine affine Abbildung.