2. Nachholklausur zur Linearen Algebra I (8. 4. 1994)

Professor Dr. U. Schoenwaelder, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen

Bitte bearbeiten Sie auf jedem Blatt nur eine Aufgabe und schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Beachten Sie, daß ausführliche Begründungen einen wesentlichen Teil der Lösung einer Aufgabe bilden. Formulieren Sie vollständige Sätze (keine logischen Pfeile!) und vergessen Sie nicht, jedes ”für alle“ oder ”es gibt ein“ wirklich hinzuschreiben. Alle Bezeichnungen, die Sie benutzen und die nicht aus dem Aufgabentext stammen, müssen Sie erklären. Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge bearbeitet werden. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Wieviele injektive Vektorraum-Homomorphismen π: V_{2×1}(ZZ_{3}) ⟶ V_{3×1}(ZZ_{3}) gibt es? 5 Punkte

Aufgabe 2.

Im ZZ_{2}–Vektorraum V := V_{3×1}(ZZ_{2}) sei der Vektor X = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) gegeben.

a) Wieviele Teilräume hat der Faktorraum V/⟨X⟩? 3 Punkte b) Wieviele Teilräume von V gibt es, die den Vektor X enthalten? 4 Punkte

Aufgabe 3. Invertieren Sie die Matrix M = ( \begin{matrix}−1 & −1 & −1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 6 & 3 \end{matrix} ) ∈ V_{3×3}(Q I ). 3 Punkte

Aufgabe 4.

Gegeben seien die Vektoren X_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), X_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) ∈ V_{4×1}(IR) und Y = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ) ∈ V_{2×1}(IR)

sowie die lineare Abbildung α: V_{4×1}(IR) ⟶ V_{2×1}(IR), die bezüglich der Standard-Basisfolgen

S_{4} und S_{2} durch die Matrix M(S_{2}, α, S_{4}) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) beschrieben wird.

a) Berechnen Sie α(X_{1}). 1 Punkt b) Berechnen Sie die \underline{Menge} aller Urbilder von Y. 3 Punkte c) Ist die von α auf dem Teilraum U = ⟨X_{1}, X_{2}⟩ bewirkte Abbildung

α|_{U}: U ⟶ V_{2×1}(IR) injektiv? 3 Punkte

Aufgabe 5.

Auf V = V_{3×1}(IR) betrachten wir das Skalarprodukt Γ mit M := M(S, Γ, S) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ),

wobei S die Standard-Basisfolge bezeichnet.

a) Berechnen Sie den Orthogonalraum U zum Teilraum T = ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )⟩ in V. 4 Punkte

b) Berechnen Sie eine Orthogonal-Basisfolge für den durch B = (( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ), ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )) erzeugten

Teilraum W von V. 7 Punkte

Aufgabe 6. Ist das Skalarprodukt Γ auf V_{3×1}(IR) aus Aufgabe 5 positiv definit? 6 Punkte Aufgabe 7. Es sei Γ: V × V ⟶ K eine (feste) nicht ausgeartete Bilinearform auf einem K-Vektorraum V (K kommutativ). Wir ordnen jeder linearen Abbildung α: V ⟶ V die Bilinearform Γ_{α} mit

Γ_{α}(Y, X) = Γ(α(Y), X) für Y, X ∈ V

zu. Ist diese Zuordnung

f := (α ⟼ Γ_{α}): Hom^{∘}(V, V) ⟶ Bil(V)

zwischen dem K-Vektorraum Hom^{∘}(V, V) aller linearen Abbildungen auf V und dem K-Vek-torraum Bil(V) aller Bilinearformen auf V

a) linear, 3 Punkte b) injektiv? 5 Punkte

Aufgabe 8. Gegeben sei eine Basisfolge B des Vektorraums V = V_{3×1}(IR). Wir betrachten den Isomorphismus π: V ⟶ V^{∗}, der B auf die duale Basisfolge B^{∗} abbildet. Es sei X ∈ V der Vektor mit

M(B, X) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), und es sei f := π(X) ∈ V^{∗} sein Bild unter π.

Berechnen Sie den Wert f(X) ( also π(X)(X) ). 4 Punkte

Aufgabe 9. Auf dem Intervall I = [0, 2] ⊆ IR seien die Funktionen l, m, f ∈ IR^{I} mit den folgenden Werten gegeben.

für x ∈ [0, 1) für x ∈ [1, 2]
l(x)  1  0
m(x)  0  1
f(x)  x^{2}  x^{2}

Approximieren Sie die Funktion f durch eine Funktion im Teilraum T = ⟨l, m⟩ bezüglich des durch

Γ(g, h) = ∫_{0}^{2} g(x)h(x)dx.

gegebenen Skalarprodukts. (Ergebnis formulieren.) 6 Punkte

Aufgabe 10. Berechnen Sie eine gute Ersatzlösung für das folgende lineare Gleichungssystem über Q I .

\begin{aligned}0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & = & −4 \\ 2 · x_{1} & + & 3 · x_{2} & = & 1 \\ 4 · x_{1} & + & 5 · x_{2} & = & 2 \end{aligned}

4 Punkte

Aufgabe 11. Formulieren Sie eine Definition für den Begriff ”Determinantenform“. (Vergessen Sie nicht, alle Voraussetzungen anzugeben.) 3 Punkte

Aufgabe 12. Im Vektorraum V_{3×1}(IR) seien zwei Basisfolgen B und C durch ihre Matrizen M(S, B) =

( \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & −2 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix} ) und M(S, C) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & −1 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix} ) bezüglich der Standard-Basisfolge S gegeben.

a) Berechnen Sie die Determinanten der beiden Matrizen. 2 Punkte b) Sind die beiden Basisfolgen gleich orientiert? (Mit Beweis.) 4 Punkte

2. Nachholklausur zur Linearen Algebra I (8. 4. 1994) Blatt 2