Nachholklausur Lineare Algebra I (Prof. Dr. U. Schoenwaelder), 25.4.2003

Gruppe B

Name: Matrikelnummer:

\underline{Ankreuzteil.} Kreuzen Sie bei jeder Frage der Aufgaben 1 bis 5 entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz.

1 Es sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine linear unabhängige Folge von Vektoren in V und (c_{1}, c_{2}, c_{3}) ein Erzeugendensystem von V ist, dann ist B eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine Folge von Vektoren in V und (c_{1}, c_{2}) ein Erzeugendensystem von V ist, dann ist B linear abhängig.

□ Ja □ Nein

Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine Basis von V ist, dann gilt V = ⟨b_{1}⟩ ⊕ ⟨b_{2}⟩ ⊕ ⟨b_{3}⟩.

□ Ja □ Nein

Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine Basis von V ist, dann gilt V = ⟨b_{1}, b_{2}⟩ ⊕ ⟨b_{2}, b_{3}⟩.

□ Ja □ Nein

Wenn B = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) eine Folge von Vektoren in V und (b_{1}, b_{1} + b_{2}, b_{1} + b_{2} + b_{3}) eine Basis von V ist, dann ist auch B eine Basis von V.

□ Ja □ Nein

2 Es sei K := \underline{7} der Körper mit 7 Elementen und K[X] die Polynomalgebra über K.

K[X] ist als K-Vektorraum 7-dimensional.

□ Ja □ Nein

Zu jedem Polynom q ∈ K[X] gibt es ein Element a ∈ K mit q(a) = 0.

□ Ja □ Nein

Der Grad der Differenz zweier Polynome ungleich 0 aus K[X] ist gleich dem Minimum der Grade der beiden Polynome.

□ Ja □ Nein

Das Polynom X + 5 ist in K[X] ein größter gemeinsamer Teiler der Polynome X^{2} + 6X + 5 und X^{2} + 2X + 2. (Beachten Sie K = \underline{7}.)

□ Ja □ Nein

3 Es seien B, C, D Basen eines 2-dimensionalen ℚ-Vektorraums V, die gemäß

Bid^{C} = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] und _{B}id^{D} = [ \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 2 \end{matrix} ] auseinander hervor gehen.

Gibt es einen Vektor x ∈ V mit_{B}x = [ \begin{matrix}3 \\ 7 \end{matrix} ],_{C}x = [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ],_{D}x = [ \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} ]?

□ Ja □ Nein

Gibt es eine lineare Abbildung φ: V → V mit

Bφ^{B} = [ \begin{matrix}2 & −2 \\ −2 & 4 \end{matrix} ] und _{D}φ^{D} = \frac{1}{3} [ \begin{matrix}4 & 0 \\ −10 & 18 \end{matrix} ]?

□ Ja □ Nein

4 Wir betrachten die symmetrische reelle 3 × 3-Matrix A = [ \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} ] und die Abbildung

α := (x ↦ x^{tr}Ax): ℝ^{3×1} → ℝ.

Ist α linear? □ Ja □ Nein

Ist α eine affine Vektorabbildung?

□ Ja □ Nein

Es sei Γ die Bilinearform auf ℝ^{3×1}, deren Gram-Matrix bezüglich der Standardbasis S gerade A ist. Ist (ℝ^{3×1}, Γ) ein euklidischer Vektorraum?

□ Ja □ Nein

5 Es sei V ein n-dimensionaler ℝ-Vektorraum und φ ein invertierbarer Endomorphismus von V. Sind die folgenden Aussagen richtig? Wenn x ∈ V ein Eigenvektor von φ ist, dann ist x auch ein Eigenvektor von φ^{−1}.

□ Ja □ Nein

Wenn A ∈ ℝ^{n×n} eine symmetrische Matrix ist, dann existiert eine invertierbare Matrix T ∈ ℝ^{n×n}, für die T^{−1}AT eine Diagonalmatrix ist.

□ Ja □ Nein

Wenn G ∈ ℝ^{n×n} eine symmetrische Matrix ist, dann existiert eine invertierbare Matrix T ∈ ℝ^{n×n}, für die T^{tr}GT eine Diagonalmatrix ist.

□ Ja □ Nein

Nachholklausur Lineare Algebra I (Prof. Dr. U. Schoenwaelder), 25.4.2003

Gruppe B

\underline{Ergebnisteil.} Tragen Sie bei den Aufgaben 6 bis 9 jeweils nur die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. Sie brauchen die Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für jede richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für falsche Antworten gibt es Null Punkte.

6 Gegeben ist die Matrix P := [ \begin{matrix}−1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & −8 \\ −1 & 0 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℚ^{3×3}.

Berechnen Sie die zu P inverse Matrix  P^{−1} = [  ].  (4 Punkte)

7 Der Endomorphismus φ des ℚ-Vektorraums V habe bezüglich einer Basis B die Matrix

Bφ^{B} = [ \begin{matrix}−3 & 1 \\ 1 & −3 \end{matrix} ]. Die Eigenwerte dieser Matrix sind −4 und −2. Bestimmen Sie eine Eigenvektor-

basis C von φ, geben Sie aber nur die Basiswechselmatrix _{B}id^{C} = [  ] an.  (4 Punkte)

8 Es sei V ein 2-dimensionaler Vektorraum über dem Körper \underline{13} = \{0, 1, 2, …, 12\} mit 13 Elementen und (P, V, ∗) ein affiner Raum über V. Wir wählen einen festen Punkt U ∈ P und eine feste Gerade g durch U.

(a) Wie viele Punkte liegen auf g? (1 Punkt)

(b) Wie viele Geraden sind parallel zu g? (2 Punkte)

(c) Wie viele Geraden gehen durch U? (2 Punkte)

9 In einem ℝ-Vektorraum mit Basis B sei der Endomorphismus φ gegeben durch seine Matrix

Bφ^{B} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix} ].

Welchen Grad hat das Minimalpolynom von φ? (2 Punkte)

Welche Dimensionen haben die Haupträume von φ? (2 Punkte)

\underline{Schriftlicher Teil.} Beantworten Sie die Aufgaben 10 bis 13 schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an.

10 Formulieren Sie eine Definition für den Begriff ”Bild einer linearen Abbildung“.

[Geben Sie dabei alle Voraussetzungen an und schreiben Sie in vollständigen Sätzen. Vergessen Sie nicht ”für alle“ bzw. ”es gibt“.] (4 Punkte)

11 Gegeben seien K-Vektorräume V und W mit einer linearen Abbildung φ : V → W und Vektoren x, y ∈ V. Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage ”Ist (φ(x), φ(y)) eine linear unabhängige Folge, so ist auch die Folge (x, y) linear unabhängig.“ [Stellen Sie den logischen Aufbau Ihrer Argumentation unmissverständlich dar.] (4 Punkte)

12 Für jede n×n-Matrix M ∈ K^{n×n} über einem Körper K bezeichnen wir mit φ_{M} die lineare Abbildung φ_{M} = (x ↦ Mx): K^{n×1} → K^{n×1}. Wir betrachten Matrizen A, B ∈ K^{n×n}. Der Spaltenraum K^{n×1} besitze eine Basis, die gleichzeitig Eigenvektorbasis bezüglich φ_{A} und bezüglich φ_{B} ist. Zeigen Sie, dass AB = BA ist. (4 Punkte)

13 Das Minimalpolynom m(X) eines Endomorphismus φ eines K-Vektorraums V habe die Form m(X) = u(X) · v(X) mit teilerfremden Polynomen u(X), v(X) ∈ K[X]. Berechnen Sie für den Fall K = \underline{2} und u(X) = X^{2} + 1 und v(X) = X^{2} + X + 1 Polynome s(X) und t(X), für die sich jeder Vektor x ∈ V in der Form x = (u(φ)∘s(φ)) (x) + (v(φ)∘t(φ)) (x) schreiben lässt. (4 Punkte)