Vordiplomsklausur, 22.3.2004 Gruppe A

Lineare Algebra I, WS 2003/04, Prof. Dr. H. Pahlings

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  10  11  12  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Zur Gesamtwertung: Es gibt insgesamt 50 Punkte. Zum Bestehen der Klausur benötigen Sie mindestens 25 Punkte.

Vordiplomsklausur, 22.3.2004, Ankreuzteil, Gruppe A

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ an beziehungsweise füllen Sie das Feld aus oder geben Sie nichts an. Auswertung: Eine richtige Antwort ergibt +1 Punkt, eine falsche Antwort −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte. 1 Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen, A ∈ K^{m×n} und b ∈ K^{m×1}. Welche der

folgenden Aussagen zu linearen Gleichungssystemem der Form Ax = b sind richtig? Ist m > n und b ≠ 0 ∈ K^{m×1}, so gibt es kein x ∈ K^{n×1} mit Ax = b.

□ Ja □ Nein

Ist Rg A = Rg[A, b] und m < n, so gibt es mehr als ein x ∈ K^{n×1} mit Ax = b.

□ Ja □ Nein

Ist b = 0 und Rg A = n − 1, dann gibt es unendlich viele x ∈ K^{n×1} mit Ax = b.

□ Ja □ Nein

2 Es seien v_{1} = (1, 2, 0), v_{2} = (0, 1, 2), v_{3} = (1, 0, 2) und v_{4} = (1, 3, 2) in ℝ^{3}.

Ist v_{4} ∈ ⟨v_{1}, v_{2}⟩?  □ Ja □ Nein
Ist ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨v_{3}, v_{4}⟩?  □ Ja □ Nein

Ist {v_{1}, v_{2}, v_{3}} eine Basis von ℝ^{3}?

□ Ja □ Nein

3 Es sei A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}. Sind die folgenden Abbildungen ℝ-linear?

f : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2}, T ↦ T A + T  □ Ja □ Nein
f : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2}, T ↦ T A + A  □ Ja □ Nein
h : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (y, x)  □ Ja □ Nein

4 Es seien K ein Körper, V und W K-Vektorräume mit dim_{K} V = 2 und dim_{K} W = 3 und φ : V → W eine injektive lineare Abbildung. Dann gibt es Basisfolgen B und B′ von V beziehungsweise W mit …

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

5 Es sei A ∈ ℝ^{n×n} für ein n ≥ 2. Welche Aussagen sind richtig?

Ist A = A^{T}, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist A^{2} = E_{n}, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist A diagonalisierbar, so hat A n verschiedene Eigenwerte.

□ Ja □ Nein

Ist χ_{A} = μ_{A}, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

6 Es sei K[X] der Polynomring über dem Körper K in der Unbestimmten X, und es seien f, g ∈ K[X] \ {0}. Es gilt Grad(f · g) = Grad(f) + Grad(g).

□ Ja □ Nein

Ist Grad(f) < Grad(g), so ist Grad(f + g) = Grad(g).

□ Ja □ Nein

Ist f in K[X] invertierbar, so ist Grad(f) = 1.

□ Ja □ Nein

Die Anzahl der Polynome vom Grad 3 in ℤ_{2}[X] ist:

Vordiplomsklausur, 22.3.2004, Rechenteil, Gruppe A

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte.

7 Es sei A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℤ_{2}^{4×4}. Berechnen Sie A^{−1} = [  ]. (4 Punkte)

8 Berechnen Sie das Minimalpolynom μ_{A} und das charakteristische Polynom χ_{A} der Matrix

A = [ \begin{matrix}0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ]

Das Minimalpolynom von A ist:  μ_{A} =  (2 Punkte)
Das charakteristische Polynom ist:  χ_{A} =  (2 Punkte)

9 Es sei

A = [ \begin{matrix}7 & 0 & −5 \\ 8 & −1 & −2 \\ 4 & 0 & −2 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3}.

Die Eigenwerte von A sind: (3 Punkte)

Geben Sie P ∈ GL_{3}(ℝ) an, so dass P^{−1}AP eine Diagonalmatrix ist: P =

(3 Punkte)

Vordiplomsklausur, 22.3.2004, schriftlicher Teil, Gruppe A

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 10

Es sei K ein Körper und a ∈ K. Bestimmen Sie alle b ∈ K für die [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ] ähnlich zu

[ \begin{matrix}a & 1 \\ 0 & b \end{matrix} ] ist. (4 Punkte)

11 Es sei K ein Körper, V = K^{2×2}, φ : V → V mit A ↦ A^{T} −A und B = (E_{1,1}, E_{1,2}, E_{2,1}, E_{2,2}) die Standardbasis von V. (Das heißt, E_{i,j} ist die Matrix, die an der Stelle (i, j) den Eintrag Eins und sonst lauter Nullen hat.)

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Berechnen sie M_{B}(φ). (2 Punkte)

(c) Geben Sie je eine Basis von Bild(φ) und Kern(φ) an. (2 Punkte)

(d) Ist φ diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix an, die ähnlich zu M_{B}(φ) ist. (2 Punkte)

12 Sei n ∈ ℕ und V ein n-dimensionaler Vektorraum. Zeigen Sie, dass es genau dann eine lineare Abbildung φ : V → V mit Kern(φ) = Bild(φ) gibt, wenn n gerade ist. (4 Punkte)

Vordiplomsklausur, 22.3.2004 Gruppe B

Lineare Algebra I, WS 2003/04, Prof. Dr. H. Pahlings

Tragen Sie bitte auf diesem Deckblatt leserlich und in Blockbuchstaben Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein und unterschreiben Sie.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Eigenhändige Unterschrift:

Krz  Erg  10  11  12  Σ

Punkte

Nachk.

Zum Ankreuzteil:

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ oder nichts an. Auswertung: Jedes richtige Kreuz gibt einen Pluspunkt, jedes falsche Kreuz einen Minuspunkt. Jede Aufgabe gibt immer mindestens 0 Punkte, Minuspunkte wirken also nicht über Aufgaben hinweg. Wenn Sie bei einer Frage unsicher sind, machen Sie einfach kein Kreuz. Sie brauchen Ihre Kreuze nicht zu begründen!

Zum Ergebnisteil:

In diesem Teil müssen Sie Ihre Aussagen nicht begründen. Es zählt nur das richtige Ergebnis.

Zu den Aufgaben mit Begründungen:

In diesem Teil müssen Sie alle Aussagen begründen. Natürlich brauchen Sie Aussagen aus der Vorlesung nicht noch einmal zu beweisen.

Zur Gesamtwertung: Es gibt insgesamt 50 Punkte. Zum Bestehen der Klausur benötigen Sie mindestens 25 Punkte.

Vordiplomsklausur, 22.3.2004, Ankreuzteil, Gruppe B

Kreuzen Sie bei jeder Frage entweder ”Ja“ oder ”Nein“ an beziehungsweise füllen Sie das Feld aus oder geben Sie nichts an. Auswertung: Eine richtige Antwort ergibt +1 Punkt, eine falsche Antwort −1 Punkt, keine Angabe zählt 0 Punkte. In jeder Aufgabe bekommen Sie mindestens 0 Punkte. 1 Es sei K ein Körper mit unendlich vielen Elementen, A ∈ K^{m×n} und b ∈ K^{m×1}. Welche der

folgenden Aussagen zu linearen Gleichungssystemem der Form Ax = b sind richtig? Ist m > n und b ≠ 0 ∈ K^{m×1}, so gibt es kein x ∈ K^{n×1} mit Ax = b.

□ Ja □ Nein

Ist Rg A = Rg[A, b] und m < n, so gibt es mehr als ein x ∈ K^{n×1} mit Ax = b.

□ Ja □ Nein

Ist b = 0 und Rg A = n − 1, dann gibt es unendlich viele x ∈ K^{n×1} mit Ax = b.

□ Ja □ Nein

2 Es seien v_{1} = (1, 2, 0), v_{2} = (0, 1, 2), v_{3} = (1, 0, 2) und v_{4} = (1, 3, 2) in ℝ^{3}.

Ist v_{4} ∈ ⟨v_{1}, v_{2}⟩?  □ Ja □ Nein
Ist ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ⟨v_{3}, v_{4}⟩?  □ Ja □ Nein

Ist {v_{1}, v_{2}, v_{3}} eine Basis von ℝ^{3}?

□ Ja □ Nein

3 Es sei A = [ \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{2×2}. Sind die folgenden Abbildungen ℝ-linear?

f : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2}, T ↦ T A + A  □ Ja □ Nein
f : ℝ^{2×2} → ℝ^{2×2}, T ↦ T A + T  □ Ja □ Nein
h : ℝ^{2} → ℝ^{2}, (x, y) ↦ (y, x)  □ Ja □ Nein

4 Es seien K ein Körper, V und W K-Vektorräume mit dim_{K} V = 2 und dim_{K} W = 3 und φ : V → W eine injektive lineare Abbildung. Dann gibt es Basisfolgen B und B′ von V beziehungsweise W mit …

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

M_{B′}^{B}(φ) = [ \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] .  □ Ja □ Nein

5 Es sei A ∈ ℝ^{n×n} für ein n ≥ 2. Welche Aussagen sind richtig?

Ist χ_{A} = μ_{A}, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist A = A^{T}, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist A^{2} = E_{n}, so ist A diagonalisierbar.

□ Ja □ Nein

Ist A diagonalisierbar, so hat A n verschiedene Eigenwerte.

□ Ja □ Nein

6 Es sei K[X] der Polynomring über dem Körper K in der Unbestimmten X, und es seien f, g ∈ K[X] \ {0}. Ist f in K[X] invertierbar, so ist Grad(f) = 1.

□ Ja □ Nein

Es gilt Grad(f · g) = Grad(f) + Grad(g).

□ Ja □ Nein

Ist Grad(f) < Grad(g), so ist Grad(f + g) = Grad(g).

□ Ja □ Nein

Die Anzahl der Polynome vom Grad 3 in ℤ_{2}[X] ist:

Vordiplomsklausur, 22.3.2004, Rechenteil, Gruppe B

Bearbeiten Sie die folgenden Rechenaufgaben und schreiben Sie die Ergebnisse in die dafür vorgesehenen Kästchen. Sie brauchen Ihre Ergebnisse nicht zu begründen, für Begründungen und Ansätze gibt es aber auch keine Punkte. Für die richtige Antwort bekommen Sie die angegebene Punktzahl. Für eine falsche Antwort gibt es Null Punkte.

7 Es sei A = [ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] ∈ ℤ_{2}^{4×4}. Berechnen Sie A^{−1} = [  ]. (4 Punkte)

8 Berechnen Sie das Minimalpolynom μ_{A} und das charakteristische Polynom χ_{A} der Matrix

A = [ \begin{matrix}0 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ]

Das Minimalpolynom von A ist:  μ_{A} =  (2 Punkte)
Das charakteristische Polynom ist:  χ_{A} =  (2 Punkte)

9 Es sei

A = [ \begin{matrix}7 & 0 & −5 \\ 8 & −1 & −2 \\ 4 & 0 & −2 \end{matrix} ] ∈ ℝ^{3×3}.

Die Eigenwerte von A sind: (3 Punkte)

Geben Sie P ∈ GL_{3}(ℝ) an, so dass P^{−1}AP eine Diagonalmatrix ist: P =

(3 Punkte)

Vordiplomsklausur, 22.3.2004, schriftlicher Teil, Gruppe B

Beantworten Sie die folgenden Aufgaben schriftlich. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen. Fangen Sie jede Aufgabe auf einer neuen Seite an. 10

Es sei K ein Körper und a ∈ K. Bestimmen Sie alle b ∈ K für die [ \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix} ] ähnlich zu

[ \begin{matrix}a & 1 \\ 0 & b \end{matrix} ] ist. (4 Punkte)

11 Es sei K ein Körper, V = K^{2×2}, φ : V → V mit A ↦ A^{T} −A und B = (E_{1,1}, E_{1,2}, E_{2,1}, E_{2,2}) die Standardbasis von V. (Das heißt, E_{i,j} ist die Matrix, die an der Stelle (i, j) den Eintrag Eins und sonst lauter Nullen hat.)

(a) Zeigen Sie, dass φ linear ist. (2 Punkte)

(b) Berechnen sie M_{B}(φ). (2 Punkte)

(c) Geben Sie je eine Basis von Bild(φ) und Kern(φ) an. (2 Punkte)

(d) Ist φ diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie eine Diagonalmatrix an, die ähnlich zu M_{B}(φ) ist. (2 Punkte)

12 Sei n ∈ ℕ und V ein n-dimensionaler Vektorraum. Zeigen Sie, dass es genau dann eine lineare Abbildung φ : V → V mit Kern(φ) = Bild(φ) gibt, wenn n gerade ist. (4 Punkte)